FC2ブログ

三次元の幾何学 (7)

いよいよ最後です。問題は、

6)平面-平面

です。これを解くには、線形代数における、連立一次方程式系の解法の知識が必要となります。

解法は以下のとおりです。平面が三つあったとすると、その平面が一次独立であれば、解は一意に求まり、それが交点です。こちらはラク。

問題は、平面がふたつの場合、または三つあったとしても、一次独立ではない場合です。これはランク落ちのときの、連立一次方程式系の解法そのものです。たとえば、平面がふたつのときは、パラメタがひとつ導入され、それがまさに、ふたつの平面の交線であるところの直線の式が得られます。

これを持ちまして、「三次元の幾何学」シリーズは、終了です。
スポンサーサイト



三次元の幾何学 (6)

さて、次に攻略するものは、以下です。

5)直線-直線

これは少しややこしいです。三次元上のふたつの直線が交点を持つ確率はゼロですから、交点を持たないと仮定します。このとき、なされるべき計算は、ふたつの直線の最小距離(または単に距離)、およびその距離をとるときの、ふたつの直線上の点です。

ふたつの直線を、以下のように表します。

l = p + αs --- (1)
m = q + βt --- (2)

ここで、lmを、最小距離をとるときの直線上の点とみますと、以下の式が成立します。

(l - m, s) = 0 --- (3)
(l - m, t) = 0 --- (4)

式(3)(4)に、式(1)(2)を代入して展開、整理すると、

α - (s, t)β + (p, s) - (q, s) = 0 --- (5)
(s, t)α - β + (p, t) - (q, t) = 0 --- (6)

式(5)(6)は、αとβに関する連立一次方程式なので、これを解けば、αとβが求まります。そして、これらを式(1)(2)に代入すれば、二点が求まり、最小距離も求まることになります。

注意としては、ふたつの直線が平行のときは、解を持ちません。このときは、点と直線問題に帰着させれば、最小距離を求めることができます。

三次元の幾何学 (5)

点に関する攻略が終了し、次にまいります。

4)平面-直線

これは、線形代数本によく載っているものです。問題は、平面と直線との交点を求めることです。

さて、平面は、

(p, n) = d --- (1)

直線は、

p = a + αt --- (2)

と書けます。混乱を避けるため、止む無く、これまでと記号を変えました。さて、式(1)に式(2)を代入します。

(a + αt, n) = d --- (3)

計算を進めると、

(a, n) + α(t, n) = d --- (4)

式(4)からαが求まります。ここでの注意は、平面と直線が平行の場合、(t, n)はゼロとなりますから、ここをチェック。αが求まると、それを式(2)に代入すれば、交点が求まります。

MGC

東京オリンピック・マラソン代表を決める、注目のMGC(Marathon Grand Chanpionship)が、2019年9月15日に開催されました。これは見逃せないので、用は絶対に入れないようにしていました。

さて、男子です。設楽が飛び出し、実況では、誰もが一位だろうと思われていましたが、後半思わぬ失速。特に評価が高いわけではなかった、中村が一位。大迫は競り合ったものの、三位でした。

感想です。設楽はよく飛び出したと思います。結果はダメでしたが、これはやむを得ません。勝負した結果ですから。さらに、後々の三大会で、日本記録を出せば選ばれますし、その可能性がないわけではありません。

大迫ですが、一位の可能性はありましたが、競り合いに負けました。日本記録保持者ではありますが、レースに勝てていません。ここは勝ちたかったところでしょう。今後の設楽の動向が気になります。場合によっては、再度走る?もしかしたら、本当の一騎打ちが見られるかもしれません。

女子は、選手をよく知らないですし、中継では男子を観ていたので、ノーコメント。

第24回日本バーチャルリアリティ学会大会 (3)

本日(2019年9月13日)は、日本VR学会大会の三日目(最終日)です。

昨日の懇親会ですが、「神田明神ホール」はよかったです。ただし、日本酒はもう少し欲しかった。昨年の仙台のことが思い起こされます。

二次会は、当社メンバにて、御茶ノ水界隈にて...

第24回日本バーチャルリアリティ学会大会 (2)

本日(2019年9月12日)は、日本VR学会大会の二日目です。場所は、東京大学・本郷キャンパス。

今回から、発表方法が様変わりしました。登壇は、午前中のショートプレゼンのみ。午後に、それに対応したポスター発表があります。つまり、まとまった発表の機会はないということ。この形態が、いまの流行とのことですが...

本日は、懇親会があります。場所は、「神田明神ホール」。もちろん参ります。

第24回日本バーチャルリアリティ学会大会

今年の日本VR学会大会は、東京大学・本郷キャンパスにて、本日(2019年9月11日)より三日間の開催です。こちらでの開催は何度目?

当社は、いつもどおり、企業展示を行います。

私は、中日の懇親会に参加します。大学ではなく、「神田明神ホール」というところのようです。

三次元の幾何学 (4)

次は、以下です。

3)点-直線

直線の式を、以下で表します。

l = p + αt --- (1)

tは正規化されているとします。点qから直線lに垂線を下ろし、その点をlとみなすと、

(q - l, t) = 0 --- (2)

が成り立ちます。内積を展開すると、

(q, t) - (l, t) = 0 --- (3)

式(3)に式(1)を代入すると、

(q, t) - (p + αt, t) = 0 --- (4)

ふたたび展開すると、

(q, t) - (p, t) = α --- (5)

となって、αが求まりました。これは垂線の長さで、垂線を下ろした直線上の点は、式(1)にαを代入すればよいです。

誕生日

本日(2019年9月9日)は、私の誕生日です。遂に、還暦を迎えてしまいました。

嬉しくはないのですが、人生のひとつの区切りだと思っています。公的年金の支給額も確定されました。民間の保険も支払い完了。

昔は定年の歳なのでしょうが(私の父は64歳まで働きました)、ここで仕事を辞めるというのは、ちょっと考えられません。健康なうちは、仕事をしようと思います。

ちなみに、今朝は台風15号の影響で、電車が動かず、自宅待機となりました。

三次元の幾何学 (3)

次は、以下です。

2)点-平面

これに関する計算としては、点から平面に垂線を下ろし、その点の座標や、垂線の長さを求めるものです。

点をqとします。また、平面を、

(p, n) = d --- (1)

とします。nは正規化されているとします。垂線が平面と交わる点をpとみなすと、

q - p = αn --- (2)

と書けます。式(2)の両辺に、nとの内積を取ってやると、

(q - p, n) = (αn, n) --- (3)

式(3)を計算してやります。

(q, n) - d = α --- (4)

内積の展開のとき、式(1)を用いました。

式(4)のαは、まさに垂線の長さです。また、pについては、式(2)に式(4)を代入し、pについて解けばよろしい。

三次元の幾何学 (2)

まずは、点の攻略から。

1)点-点

これは、ふたつの点の距離ですね。点をベクトルとみなすと、引いてやって、絶対値を取ればよいです。すなわち、

|q - p| --- (1)

具体的な計算としては、各成分ごとに引き算して、二乗和をとり、ルートすればよろしい。もっとも簡単です。ウォーミングアップにもならなかったような...

三次元の幾何学

「三次元の幾何学」の基本について、これから数回にわたり、つらつらと記載していきます。

三次元の幾何学の登場人物ですが、点/平面/直線、の三つに絞ります。球とかもあるのですが、こういうのを含めてしまうと、円柱とか、いろいろと出てきてしまいます。なので、まずは簡潔に、上記三つ。

そうしますと、三つから二つを選ぶ組み合わせで、以下の六通りの計算が考えられます。

1)点-点
2)点-平面
3)点-直線
4)平面-直線
5)直線-直線
6)平面-平面

これら六通りについて、これから計算法をご紹介してきます。乞うご期待!

多様体

4年前に買ったものの、長らく積読状態となっていた、

村上信吾、多様体 第2版、共立出版、1989.

少しずつ読み始めました。購入直後は、ただちに諦めたのですが、最近いろいろと関連話を聞くようになり、読めそうな気がしてきたことによります。

用語については、初めてのものはあまりなく、なんとなく第3章まで進めています。「多様体のコホモロジー理論」です。

線形代数学 (3)

三次元の幾何学は、いろいろな計算が出てきますが、そのひとつが、ふたつの平面の交線計算。

これは、ふたつの連立一次方程式を解けばよいです。そうすると、直線のパラメタ表示が得られます。

基本的には、行列の基本変形をやればよいのですが、少しややこしいところなので、

・線形代数学(新装版)、川久保 勝夫、日本評論社(2010)

の第8章、「連立1次方程式(2)」、をおさらいしました。ここは、まえがきにも解説があるように、気合の入った章なので、さすがにわかりやすです。ちょっと前半がくどいけれど。

ベクトル解析 (2)

魚金会にて、多様体とか、ファイバーバンドルとかを勉強しています。私には、かなり敷居が高いです。

なんども繰り返して、慣れるしかありませんが、まだ基本が疎かと感じ、関連の蔵書を見直していました。そうしたところ、

志賀浩二先生著「ベクトル解析30講(1989)」

をもう一度復習することにしました。平易な割には、難解な商集合について、丁寧に書かれてあります。

ロジスティック方程式

川平友規先生著、「微分積分 1変数と2変数(2015)」、順調に読み進めています。復習に手頃。

「第14章 微分方程式」、は、そのトピックのクイックコースです。基本的な項目が簡潔に整理されています。

その中に、ロジスティック方程式が出てきました。微分方程式の初歩ではあまり見ない項目です。やはり、応用を意識した良書。

さて、ロジスティック方程式とは、

dy/dx = (k - ay)*y --- (1)

というものですが(同書では式(14.3))、これは実は、機械学習でよく出てくるロジスティック回帰の関数、

dσ/dx = (1 - σ)*σ --- (2)

の一般形です。ロジスティック方程式は、もともと「個体生物学」の分野ですが、機械学習はこれをパクった?

日本酒乾杯条例

先日(2019年8月20日)、長岡技術科学大学を訪問ののち、長岡駅チカで懇親会をいたしました。9名の参加です。

新潟といえば日本酒ですから、私はいつものようにビールはスキップして、日本酒を頼みました。大学から駅までのタクシー内で、運転手さんから教えてもらった銘柄です。

ほかの人はビールですが、そのあとご参加の先生から、長岡では日本酒で乾杯という条例がある、と聞かされました。

...あれ?、これは実は以前も聞いたことがありました。以下です。

http://kanouy.blog9.fc2.com/blog-entry-1367.html

私の経験はこの2回ですが、他の都市でもありそうですね。これを求めて、全国酒巡り?

microSDHC

私のスマホ(FUJITSU arrowsM04)で撮った写真が、徐々に壊れてくるという現象に悩まされていました。

この写真、microSDHCに格納しているのですが、ビューアでたまに見ると、すでに壊れていて見られないか、ビューアで見ているうちに壊れてくる。具体的な壊れかたというのは、JPEGだからなのか、ブロックごとに見られなくなる、という感じです。たとえば、右半分とか左半分が、グレーとなる。

これはかなり恐ろしいです。バックアップは取ってあるので実害はないのですが、よい気分ではないです。

そうこうしているうちに、この原因は、microSDHCがハード的に壊れてきたのではないかと思うようになりました。私のスマホはほぼ2年経過していますが、使っているmicroSDHCは、その前のガラケーのときから使っているものではないかと記憶します。なので、メモリの寿命が来たのだと思いました。

遅ればせながら、16GBのものを購入しました。microSD関連では、すでに16GBが最低の容量のようです。こんなに安いのだから、壊れても仕方がないと思いました。

Support Vector Machine (5)

Support Vector Machine(SVM)において、マージンが1/|w|というのが解りづらいと思い、以下に導出します。

ゼロの境界線上のベクトルをx0、プラスの境界線上のベクトルをx1とすると、

wTx0 + b = 0 --- (1)
wTx1 + b = 1 --- (2)

が成り立ちます。式(2)-式(1)をつくると、

wT(x1 - x0) = 1 --- (3)

となります。式(3)の両辺を|w|で割ってやると、

wT/|w|(x1 - x0) = 1/|w| --- (4)

となりますが、式(4)の左辺はまさにマージンの定義です。従いまして、式(4)の右辺、すなわち1/|w|がマージンとなります。

mentimeter

大分県開催のとあるセミナで、mentimeterというウェブサービスを知りました。

これは、スマホでアンケートがリアルタイムに取れるというものです。あらかじめ用意されたQRコードを、スマホで読み込みます。あるサイトに飛びますが、そこにアンケートが記されています。それに回答すると、リアルタイムに集計されるという仕組みです。

そのセミナの参加者は数百人だったのですが、簡単にアンケートが集計され、前面のスクリーンで集計結果が見られます。これはかなり面白いので、今度私がやるセミナで使ってみようと思います。

MADE IN TOKYO

T社の中古ノートPC、SSDがよいので、やはりSSDのノートを購入することにしました。もちろん中古です。

今回は、HP社のものにしました。ディスプレイが15.6インチと、これまでになく大きいので、ちょっと躊躇したのですが、価格が安いので、これに決定。

HP社のものは、MADE IN TOKYOで知られています。つまり、品質がよいということですね。使ってみればわかる。

Microsoft Officeのライセンス認証に手間取りました。このノート用に新規で購入したのですが、自身のMicrosoftアカウントからダウンロードすると、これはT社のノート用なので、認証で引っかかります(ライセンスはひとつだけ)。というわけで、別のサイトでダウンロードして、認証しなければなりません。少しややこしいです。

熱中症

先日(2019年8月12日)、茅ヶ崎ビーチでBBQをやるというので、自転車ではなく、走って行きました。なぜ自転車ではないかというと、少し前の免許更新時の講習で、自転車の飲酒運転取り締まりが強化される、と聞いたからです。帰りに捕まってしまうと、これはヤバいです。

自宅から6キロ程度なのですが、気温が高く、後半は半ば歩きです。到着時には、熱中症の症状が出ました。具体的な症状とは、手先のしびれです。

これはヤバいと、日陰に退避。休憩したのち、BBQテントに戻ると、すでにビールサーバが設置されていました。当然のことながら、ビールは「水分補給」とはなりません。しかし、これしかないので、ビールを飲みました。すると、熱中症の症状がなくなりました。

結論としては、「短期的」にはビールでも構わないということが、身をもって証明されました。少なくとも、水分としての役割は果たすわけです。ホントかな?

電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会 (3)

本日(2019年8月20日)は、「電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会」です。場所は長岡技術科学大学。初めての訪問です。

恒例の関連研究室の見学は、以下です。

・木村研究室(木村 宗弘 先生)液晶デバイス
・圓道研究室(圓道 知博 先生)空間映像メディア研究
・玉山研究室(玉山 泰宏 先生)メタマテリアル研究

そのあとは、長岡駅チカで懇親会です。みなさん、このあと帰宅されるのでしょうか?

Apple ID

Appleからメールをもらいました。私のApple IDに、見知らぬコンピュータからログインがあったとのことです。

インチキメールでないことを確認ののち、Apple IDにログインしてみました。すると、確かに見慣れないコンピュータ3台からログインがあったようです。

この3台のログを削除、さらにパスワードを変更しました。さらに、Apple IDに登録されているクレジットカードに、本人認証機能を付加しました。

これで対応は終わりですが、ログイン名、パスワードまではバレて仕方ないと思いつつ、関連の質問三つもよく答えがわかったな、と思いました。このあたりは流出したということですかね?

夏休み (10)

来週(2019年8月12~16日)は、当社の夏休みです。9連休です。私は、とくに遠出はしませんが、サッカーのBBQや、数学ゼミがあります。

本BLOGもそれに伴い、夏休みをいただきます。19日から再開予定です。

ディスク容量の謎

私がいま使っているPCは、128GBのSSD搭載の、T社中古ノートです。

SSDの容量が少ないので、極力不要なファイルは入れないように、注意していました。

そのようなことで、40~45GBの空きはキープしていたのですが、先日、いきなり空きが20GBになってしまいました。なぜ?

ネットで調べてみると、Windowsアップデートのファイルが残っているのでは、とのことで、クリーンアップツールを使いました。それで、30GB強まで回復しましたが、十分とは言えません。

でも、仕方がないと諦めていたところ、最近いきなり60GB弱まで空きが増えました。何もしていないのですが、よくわからないです。

臼杵

昨日(2019年8月6日)、臼杵(うすき)に行ってまいりました。知る人ぞ知る城下町で、大分県にあります。

なぜ臼杵かと言いますと、私の先祖がここの出です。そのあといろいろとありまして、非定期で訪問しています。

通常は、大分駅からJR日豊本線で行くのですが、あいにく台風で電車が動きません。そこで、初めての試みとして、バスで行くことにしました。11時30分発のを逃し、次は14時です。それまで駅チカで時間潰し。

渋滞がないので、バスは定刻に発車、一時間程度で目的地へ。雨は降っていましたが、台風はすでに北に去っているので、問題なし。

さて、帰りです。バスの最終は早く、16時56分です。余裕をもって臼杵駅に到着すると、想定内ではありますが、JRが動いていました。16時37分のに乗れました。バスと電車ではルートが全く異なるので、違う景色を堪能いたしました。

教育情報化カンファレンスinおおいた

昨日(2019年8月5日)、「第8回教育情報化カンファレンスinおおいた」に参加いたしました。場所はJR大分駅チカのホール(J:COM ホルトホール大分)です。

テーマは、「未来に生きる子どもたちに必要な情報活用能力を育てる」、というものです。

このテーマに沿って、合計6件のプレゼンがなされました。それぞれ、中学・高校の先生、高校生、NPO、企業、というバラエティに富んだものでした。

NPOのかたの、「プログラミング教育と未来を考える」についてです。私は、プログラミング教育の必修化は不要、という立場でしたが、この講演を聴いて、少しだけ変わりました。要するにこの教育というのは、情報処理技術者を育成するためでもないし、それにより向いてないと悟ってもよい、ということです。

講師自身の例としては、自身は音楽がダメだということですが、それは学校の音楽の授業で知ったということでした。確かに、それはそうなのかも知れません。

私の意見は、プログラミングをやるのであれば、その基盤である数学をもっと重要視しろ、という立場なのですが、この立場は、多少とも「プロ」(いちおう35年以上これで食べている)の見方があったのかも、という発見でした。

第43回TAMAマラソンat FUTAKOBASHI顛末記

第43回TAMAマラソンat Futakobashi(2019年8月3日)に参加してまいりました。通算7回目です。

8月なので、もちろんハーフはムリで、10キロにエントリ。でも、この暑さに関わらず、ハーフのエントリが一番多い...わけがわからないです。

暑さ対策で、2.5キロを二往復します(通常は5キロ往復)。つまり、5キロ時点でリタイア可能ということ。実際そのような人が見受けられました。

さて、私ですが、5キロを走ったあとの二往復めで、暑さのため、だんだん調子がおかしくなりました。朝のニュースでの気温予想は35度です。体感もそんな感じです。

8キロ付近で、前を走っていた女性が倒れ、救護されました。私もかなりヤバかったので、倒れちゃおうかな~などと思ったのですが、これまでレースではすべて完走なので、ふらふらになりながら、ゴールしました。熱中症の症状と言われるものは、いくつか出ました。もちろん、10キロの自己大ワースト。

ゴール後、更衣室(というかテント)の脇で寝転がっていたら、ハーフを完走したと思しき方々が、涼しい顔でやってきました。どういう人たちなんでしょうね。

ザ・プラクティス (3)

アメリカの法廷もの傑作、「ザ・プラクティス」、シーズン1と2のDVDを、某所から自宅に持って帰りました。もう一度観ます。

ところで、Windows 10だと、標準でムービープレーヤーが付いていないんですね。コーデックの問題なのでしょうが、ダウンロードしなければならず、面倒くさい。というわけで、ポータブルなDVDプレーヤーの購入を検討。

先日ヨドバシに物色に行ってみたら、DVDだけだと1万円程度です。それが、Blu-ray対応だと3万円します。迷います。
プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

---------------------

前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

最新記事
最新コメント
最新トラックバック
月別アーカイブ
カテゴリ
検索フォーム
RSSリンクの表示
リンク
ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード
QRコード