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湘南工科大学非常勤講師 (30)

先日(2021年4月16日)は、湘南工科大学の非常勤講師、2年ぶりの対面授業をやってまいりました。

まずはコロナ対策です。教室が密になるのを防ぐため、隣接している教室をふたつ使います。SAを付けてもらい、もうひとつの部屋をサポートしてもらいます。

さて、授業のやりかたです。私のいる教室はこれまでどおりで問題ありません。

もうひとつの教室には、Google Meetにて配信します。音声もマイクを通して、配信。

わけのわからない不具合があって、教室のパソコンと私のノートを併用することとなりました。実際にはひとつでよいのですが、まあこれでもよいです。一応次回からの道筋が立ちました。なんとかなります。
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湘南工科大学非常勤講師 (29)

本日(2021年4月16日)は、湘南工科大学の非常勤講師、本年度2回めです。

本日からは対面授業なので、大学に出向きます。しかるに、コロナ対策のため、部屋がふたつになります。そのために、SAを付けてもらったのですが、さて、どのように授業をやるのだろうか。

この形態に決まってから考えていたのですが、これはやはり、行ってみないとわかりません。臨機応変に対応します。

湘南工科大学非常勤講師 (28)

本日(2021年4月9日)は、湘南工科大学の非常勤講師、本年度の初回です。

本日の授業は、ガイダンスなのですが、対面でもオンラインでもなく、事前にMoodle(LMS)に資料をあげればオシマイです。学生さんはそれを見て、受講するに値するものかどうかを決めるわけです。

翌週から、対面授業なのですが、なんでも、コロナ対策のため、受講人数によっては、教室をふたつ設けるとのことです。しかし、教室をふたつにすると、実際の授業はどのようになるのでしょうか?

対策として、SAを付けてくれることになり、これは決まりました。ただ、まだイマイチやりかたが掴めません。対面までに考えます。

湘南工科大学非常勤講師 (27)

湘南工科大学の非常勤講師、本年度の初回は2021年4月9日です。

今年は対面だと聞いていたので、そのように心していました。そのようなときに、大学からメールをいただきました。

初回はガイダンスなのですが、私の授業は、ガイダンスはオンデマンドで行う、とのことです。

ここでいうところの、オンデマンドというのは、大学のLMS(Moodle)にてガイダンス用資料を事前にアップロードしておき、学生がそれを勝手に見る、ということです。従って、授業はありません。

実際の対面授業は、翌週からということになりました。

exterior productの謎

p次の微分形式と、q次の微分形式の、exterior productを取るときに、正規化係数について、ふたつの流儀があるという話です。

ひとつは、(p+q)!で割るというもの。もうひとつは、(p!q!)で割るというものです。

前者の出どころ(のひとつ)としては、小林昭七先生の難書「接続の微分幾何とゲージ理論」9ページ。

後者の出どころ(のひとつ)は、Mikio Nakahara先生の「Geometry, Topology and Physics」197ページ。

いろいろと調べたところでは、このふたつの流儀のようです。こちらも魚金会での話。

UTokyo OCW

魚金会で、UTokyo OCWというものを教えていただきました。OCWとは、OpenCourseWareの略です。

要するに、東大のビデオ講義集です。たくさんありそうですが、以下のふたつが紹介されました。

数学を創る-数学者達の挑戦(学術俯瞰講義)
https://ocw.u-tokyo.ac.jp/course_11323/

先端物理学国際講義I
https://ocw.u-tokyo.ac.jp/course_11330/

備忘録として、ここに記載しておきます。楽しそうですが、観る時間が確保できるか?

開集合

謎の勉強会ACLで、離散トポロジー上の基本群を求める問題が出たので、ここぞとばかり、魚金会に訊いてみました。私にとっては、打ち出の小槌のようなところです。

すると、開集合の理解が必須であることがわかりました。私の開集合の知識は、高校数学のものです。つまり、数直線上で、端点が含まれなければ開集合である、というようなヤツ。

驚くべきことに、集合が離散であっても、開集合が登場することがわかりました。基礎が足りないことを実感。

algebra

志賀浩二先生の「ベクトル解析30講」、第6講のTea Timeに、algebraという単語について記載があります。

algebraという単語は、その響きのとおり、もともとはイスラム圏の言葉です。

日本語では「代数」と訳され、代数演算を取り扱う学問の総称として、すっかり定着していることはご存じのとおりです。

しかるに、algebraという単語は、もう少し狭義の意味でも使われだしたのだそうです。たとえば、ベクトル空間は、足し算とスカラ積が定義された空間ですが、さらにそれに、要素同士のかけ算も加えたものを、algebraというそうです。もっとも、このような対象は、日本語では「多元環」と訳したらしいのですが、海外ではalgebraと呼ぶことになったとのこと。

このような、多少とも特殊と思われる対象を、総称であるところの「algebra=代数」と呼ぶのには、私にはかなり違和感があるわけですが、どうも、そのような歴史があるらしいです。

イデヤル

志賀浩二先生の「ベクトル解析30講」、引き続き読み進めています。

第8講の「イデヤル」、私にとっては鬼門です。最初に読んだときは、なんのことか全くわからなかったです。

しかしその後、代数系を少し勉強しました。イデヤルとは、正規部分群の環バージョンですね。

準同型定理 (3)

「準同型定理」(英語では、The Fundamental Theorem of Homomorphisms)、やっとわかりました(という気がする)。

G/Ker(φ) ≅ Im(φ) --- (1)

これは、以下の二段構えでやるとよいです。

まず、GからG/Ker(φ)への写像を考えます。これは準同型になっています。「標準的な」準同型と呼ばれます。

また、Gから Im(φ)への写像も、準同型です(というか、もともとそう定義した)。

ということは、式(1)は同型でないといけない、という理屈です。志賀浩二先生の「群論30講」141ページ。同書では、「つぶれ方」が同じ、と表現しています。英語ではcollapseです。

標準的準同型写像

群Gと、その正規部分群Nに対して、GからG/Nへの写像を、標準的準同型写像または自然な準同型写像と言います。英語では、canonical homomorphismまたはnatural homomorphism、でしょうか。

この証明は、レベルの低い私にとっては、格好の練習になります。これはまず、謎の勉強会ACLでやったわけです。しかし、それだけではよくわかりませんでした。それで、魚金会メンバに訊いてみたというわけです。そこでやっと納得。

湘南工科大学非常勤講師 (26)

湘南工科大学の非常勤講師、来年度(2021年度)もやることになりました。2017年度から、5年目に突入。

今年は思いもかけぬコロナで、すべてオンライン授業となりました。来年はどうなるのでしょう?

学生アンケートはいつも厳しく、結果はあまりよろしくないのですが、今回ひとりの学生さんが、「今回受けたオンライン授業のなかで一番、対面授業と変わらない質のいい授業だったと思う」、と書いてくれました。これを励みに、来年も頑張ります。

module

ACLという謎の勉強会に参加しています。

先日の勉強会のあと、立ち話で、moduleの話になりました。moduleというのは、ベクトル空間の拡張です。この意味を私はまだ理解しておりません。

さて、moduleの日本語は「加群」です。では、「加群」の英語直訳は?これは、additive groupになるのだと思います。では、additive groupの日本語直訳は?これは「加法群」でしょうか。

それでは、「加群」と「加法群」はどう違うのでしょう?私のいまの謎はこれです。

確率ベクトルを元とする群 (4)

「計算ホモロジー」をターゲットとする勉強会で、宿題「確率ベクトルを元とする群を構成せよ」が出たという話のさらなる続報。

http://kanouy.blog9.fc2.com/blog-entry-2625.html

「具体的な数式は提示されなかった」と前回書きましたが、これは私の勘違いでした。解答は提示されました。その解答というのが、成分ごとに掛け合わせ、正規化する、というものです。これは簡単で、私も最初にこの解答を得ました。

しかし、これだと、確率ベクトルのある成分がゼロのとき、逆元を持ちません(ゼロ割が起こるので)。したがって、早々とこれは除外したわけです。それで乗算ではなく、加算を考えた。

この解答が提示されたとき、私はそれを伝えたのですが、出題者はCromwell's ruleというのを出しました。これはWikipediaに載っていますので、内容はご確認ください。

「魚金会」メンバに訊いたという話も書きましたが、そのときこの解答はH先生から提示されていました。後日、H先生にCromwell's ruleというのを伝えると、「聞いてねーよ」だそうです。

確率ベクトルを元とする群 (3)

「計算ホモロジー」をターゲットとする勉強会で、宿題が出たという話の続報です。

http://kanouy.blog9.fc2.com/blog-entry-2620.html

「確率ベクトルを元とする群を構成せよ」、というものです。

解答がわかりました。まず、Rnから、expによる変換により、(0,∞)nになります。さらに、canomical projection homomorphismという変換により、(0,∞)n/Hに移ります。ここで、Hとは、

H = {(eλ,...,eλ):λ∈(0,∞)} --- (1)

というものです。最後にnormalizationを行い、simplex上の確率ベクトルを構成します。群を作るには、この道筋をたどればよいということでした。具体的な数式は提示されませんでした。

確率ベクトルを元とする群 (2)

「計算ホモロジー」なるものをターゲットとする勉強会で、宿題が出たという話を書きました。

http://kanouy.blog9.fc2.com/blog-entry-2616.html

「確率ベクトルを元とする群を構成せよ」、というものです。

単位元はわかりました。これは一様分布ですね。これしか候補はない。

その次です。逆元が存在し、かつ単位元との演算で、元の元となるようなものを考えていますが、まだ発見できません。

「魚金会」メンバにも訊いてみたのですが、現状解答は不明です。本当にできるんでしょうか?

確率ベクトルを元とする群

「計算ホモロジー」なるものをターゲットとする勉強会に、隔週で参加してます。

五回目は、2020年10月17日。今回は群論の初歩なので、簡単でした。例題は整数の加法群と、正方行列の乗法群という定番。

最後の例が、確率ベクトルを元とする群を構成せよ、という耳慣れないものでした。このあと食事に行ったので、まだ正解はわかりません。気になって、食事の間もずっと考えていたのですが、結局構成できませんでした。引き続き考えます。

準同型定理 (2)

「準同型定理」(英語では、The Fundamental Theorem of Homomorphisms)は、以下の式です。

G/Ker(φ) ≅ Im(φ) --- (1)

右辺はともかく、左辺の理解に苦労しました。左辺はcosetなんですね。a∈Gとして、K = Ker(φ)と置くと、φは準同型写像だから、

φ(aK) = φ(a)φ(K) = φ(a) --- (2)

となります。つまり、1対1対応になるということです。cosetは難しいです。商集合は、cosetの集合、ということですね。

剰余群

剰余群、やっとわかりました。勘違いかもしれませんが、現状ではいちおう...

剰余類というのは、それほど難しくないですね。整数の余りを考えればわかります。

整数については、たとえば、Z/5Zは剰余群で、余りがそのまま足し算で群を作っているわけですが(ついでに掛け算も)、ここから一般化?するのに手間取りました。Z/5Zという簡単な例で考えていけばよかったわけです。

テンソルの計算 (3)

Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd edition, Institute of Physics Publishing, 2003.

284ページ Exercise 7.19.(a) の問題は、以下の式を検証することです。

δαβ = gμνeαμeβν --- (1)

使える式は、以下です。同書では、(7.132b)式。

gμν = eαμeβνδαβ --- (2)

ここで、前回の記事で、式(2)の両辺に、δαβgμνをかけてやればよいと書きました。

http://kanouy.blog9.fc2.com/blog-entry-2581.html

すると、

δαβgμνgμν = δαβgμνeαμeβνδαβ --- (3)

となります。

さて、左辺はよいのですが、右辺において、添え字αとβについて、縮約のやり方が複数あることになります。これがよいのかどうか、先日の魚金会でMさんから疑問が呈されました。結局はよいのではないか、とH先生がおっしゃって、ひと段落いたしました。私には真相はよくわかりませんが、結果が正しいので、よいことにいたします。

準同型定理

群論において、「準同型定理」はひとつの山ですね。

数式としては、以下のように、非常に美しい形をしています。

G/Ker(f) = Im(f) --- (1)

当面の目標は、これの理解です。

英語では、The Fundamental Theorem of Homomorphismsと言います。

圏論 (9)

圏論はしばらくご無沙汰していたのですが、シカゴ大博士のアメリカ人SがK大に移り、圏論をやるというので、そこの勉強会に参加しています。

彼の説明は論理的です。その場で質問できるので、これまでよくわからなかったことが、よくわかりました。ただまだ、圏論がいかに便利であるかがわかりません。最近群論も勉強しだしたので、その違いを考えながら、やっていきます。

圏論だけではなく、それと極めて関係が深いとSが言っている、代数トポロジーもやります。

群論 (2)

群論で、わかったようなわからないような気がするものに、同値関係、というのがあります。

これは基本的な概念です。すなわち、ある群に対して、同値関係を定めれば、それにより群の類別ができるということです。

これについては、かなり明らかですから、よいのですが、同値類による類別のあと、部分群による類別、というのがありまして、このあたりで混乱します。

最終的には、正規部分群の話となって、ひと段落するわけですが、いまの私にとっては、ここが山場であります。

群論

群論、ずっと避けていましたが、もはや避けようがないので、一冊勉強することにします。

教科書ですが、志賀浩二先生の「群論への30講」です。これは1992年に購入したものです。拾い読みはしましたが、通読はしていません。

最近、トポロジーを少しかじりました。ここでは「基本群」というのが登場するのですが、同書の第22講にはきちんと「基本群」が紹介されています。

正規部分群とか準同型定理とか、よく出てくるものを、習得したいと思っています。

テンソルの計算 (2)

Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd edition, Institute of Physics Publishing, 2003.

284ページ Exercise 7.19.(a) の問題は、以下の式を検証することです。

δαβ = gμνeαμeβν --- (1)

使える式は、以下です。同書では、(7.132b)式。

gμν = eαμeβνδαβ --- (2)

最初はよくわからなかったのですが、式(2)の両辺に、δαβgμνをかけてやればよいですね。このとき、以下の関係を利用してやります。

gμνgμν = δαβδαβ = (次元数) --- (3)

湘南工科大学非常勤講師 (25)

湘南工科大学の非常勤講師、2020年7月31日が今期の最終となりました。

結局、16回すべてをオンラインで敢行いたしました。私は学生さんではないので、受講者側の印象は不明ですが、こちら側はなかなか楽しかったです。

テストは計3回(中間・期末・補講)やりました。結果を見た限りでは、いろいろと反省材料があります。ただ、その解決は難しい。

Killing vector (3)

魚金会での教科書、

Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd edition, Institute of Physics Publishing, 2003.

7.7 Killing vector、Exercise 7.17についてです。Killing方程式が、Levi-Civita接続のときにどのように表されるかを求めるものです。

計算を進めると、余計な項が出てきます。すなわち、

Xλ(∂μgλν + ∂νgλμ) --- (1)

XλはKilling vectorである前提です。式(1)がゼロになってくれればよいのですが、これは果たしてゼロになるのでしょうか?

Killing vector (2)

魚金会での教科書、

Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd edition, Institute of Physics Publishing, 2003.

7.7 Killing vector、に引き続き挑戦中。

Exercise 7.17は、Killing方程式が、Levi-Civita接続のときにどのように表されるかを求めるものです。

これは、Levi-Civita接続の定義式(つまりクリストッフェル記号)とKilling方程式を組み合わせれば出ます。というか、出るはず。それ以外の情報がないので。

しかしながら、消えて欲しい項が果たして消えるのかどうか、不明です。引き続き頑張ります。

Killing vector

魚金会での教科書、

Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd edition, Institute of Physics Publishing, 2003.

オンラインになって久しい前回(2020年6月22日)は、7.7 Killing vector、です。

Killing vectorという単語は、現代物理の教科書ではよくお目にかかるものです。ただ、何のことなのかがわかりませんでした。

さて、定義は難しいのですが、Exercise 7.18が面白い例題です。二次元多様体においては、三つのKilling vector fieldが求められ、ふたつは平行移動に対応し、ひとつは回転に対応するとのことでした。確かに計算すると、そのようになるようです。

しかし、このように七面倒くさいことをやってもとめたKilling vectorとは?まだその有益性がわかりません。

Algebraic Topology

K大に着任したというS氏のYouTubeビデオがあったので、どれどれと見てみました。30分程度の講義です。

彼は機械学習で博士号を取りました。もともとは数学なので、数学寄りの話です。Deep Learningの研究に、Algebraic Topologyを使うとのことです。

Adam Marshの"Mathematics for Physics (2018)"の第5章が、Algebraic Topologyです。この出だしが、S氏の話にかなり近い。要するに、ツールはHomologyとHomotopyです。何度か投げ出していますが、また読んでみます。
プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~2020年10月
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第四期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(委員)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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