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湘南工科大学非常勤講師 (22)

湘南工科大学の非常勤講師、来年度(2020年度)もやることになりました。2017年度からですから、4年目となります。科目名は、昨年度同様、「基礎解析のためのプログラミング」です。これが私に最も合っているかも。いろいろとやりましたが、これに落ち着いたということ?

資料は、昨年度にかなり整備したので、ほぼ同じように進めます。ただし、学生さんからのアンケートが来ていますから(キビシイ!)、それを反映させるべく、改訂します。
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圏論 (6)

H先生による、「圏論ゼミ」全六回、第三回が2019年11月17日に開催されました。場所は新宿です。

第二回の10月20日をお休みしてしまい(日本-南アフリカ戦のため)、ついて行けるのか不安でしたが、なんとかOK。これは、私の知っていたことが圏の事例として説明されたことによります。

結局のところ、圏論というのは集合論の一般化ですから、個別の要素については、これまで知っていたことが出てくる可能性があるわけです。行列圏のモノイド拡張(?)は参考になりました。なるほど、こういうことか。

KerとIm

線型代数における、Ker(Kernel)とIm(Image)が、本質的であることが、遅ればせながら、最近になってわかりました。

私の大学時代のテキスト、齋藤正彦先生の「線型代数入門」には、たしか、KerとImという用語は、使っていなかったのではないかと思います。すでに手放していますから、確認したわけではないですが、記憶ではなかった。

最近の、やはり齋藤正彦先生の「線型代数学」にも、KerとImは出てきただろうか?これは自宅にありますので、確認することは可能です。

というわけで、自宅に戻り、確認いたしました。実際のところ、ありました。ただ、ほんの申し訳程度です。線型代数本でも、このあたりが詳述されているのは、多少ともレベルの高いものですね。

連立一次方程式

連立一次方程式を掃き出し法で解くときに間違いやすのが、解にパラメタが含まれる場合です(つまり、解が一意に決まらないとき)。この解法は確立されており、線形代数(または線型代数)と銘打ってある本には必ず説明されています。ただし、分かりにくいものが多いですし、著者も混乱したのか、間違って記載されているものもあります(符号が逆など)。

そこで、ネットで調べたところ、最も明快なのが、以下のサイトだと思いました。

「武内修@筑波大 線形代数I/連立一次方程式」

ここで、以下の分類があります。

「うまく行かないケース(2):軸に取るべき要素がない」

ここが間違いやすいところですが、以下の説明で簡潔化されます。

「このような場合、「掃出しのできなかった列に対応する変数をパラメータに置く」のが良い」

その通りで、これさえ行えば、難所を切り抜けることができます。ググれば出てきます。混乱されているかたにはおススメ。

ストークスの定理

ストークスの定理とは、以下の式のことです。

Rdφ = ∫∂Rφ --- (1)

このような美しい式は、滅多にお目にかかれません。記号の意味は省略。ググればたくさん出てきますから。

さて、式(1)については、

Roger Penrose, The Road to Reality, 2005.

第12章に詳しく説明されてあります。面白いのが、式(1)をストークスの定理と呼ぶのに、ペンローズは反対しています。理由は以下のように、章末に記載されています。

Sometimes this theorem is simply called Stokes’s theorem. However, this seems particularly inappropriate since the only contribution made by Stokes was set in a (Cambridge) examination question he apparently got from William Thompson (Lord Kelvin).

ちなみに、N. M. J. Woodhouseという人がペンローズに提案した名前は、"the fundamental theorem of exterior calculus"、というものです。同書でもこれを使っています。

圏論 (5)

H先生による、「圏論ゼミ」全六回、第一回が2019年9月15日に開催されました。場所は新宿です。

ガイダンスの内容を復習したのち、具体的な圏の例がふたつ提示されました。ひとつは、「しりとりの圏」、もうひとつは、「行列の圏」です。なるほど、具体的な例で説明してもらえると、これまでまったくわからなかったものが、なんとなくわかりました。それにしても、数学のヒトは、具体的例を思い浮かべずとも、論理のみで突き進んでいけるのでしょうか。いつも沸く疑問です。

新宿に行く機会はあまりありませんが、そのとき立ち寄るのが、「82新宿西口大ガード店」です。すでに店員さんとは顔なじみとなりました。今回はゼミ終了後に立ち寄ったのですが、いつもはカウンタ内の女性(つまり店員さん)が、たまたまお客さんとして来店、私を見つけて声をかけてくれました。こういうのが楽しい。

三次元の幾何学 (7)

いよいよ最後です。問題は、

6)平面-平面

です。これを解くには、線形代数における、連立一次方程式系の解法の知識が必要となります。

解法は以下のとおりです。平面が三つあったとすると、その平面が一次独立であれば、解は一意に求まり、それが交点です。こちらはラク。

問題は、平面がふたつの場合、または三つあったとしても、一次独立ではない場合です。これはランク落ちのときの、連立一次方程式系の解法そのものです。たとえば、平面がふたつのときは、パラメタがひとつ導入され、それがまさに、ふたつの平面の交線であるところの直線の式が得られます。

これを持ちまして、「三次元の幾何学」シリーズは、終了です。

三次元の幾何学 (6)

さて、次に攻略するものは、以下です。

5)直線-直線

これは少しややこしいです。三次元上のふたつの直線が交点を持つ確率はゼロですから、交点を持たないと仮定します。このとき、なされるべき計算は、ふたつの直線の最小距離(または単に距離)、およびその距離をとるときの、ふたつの直線上の点です。

ふたつの直線を、以下のように表します。

l = p + αs --- (1)
m = q + βt --- (2)

ここで、lmを、最小距離をとるときの直線上の点とみますと、以下の式が成立します。

(l - m, s) = 0 --- (3)
(l - m, t) = 0 --- (4)

式(3)(4)に、式(1)(2)を代入して展開、整理すると、

α - (s, t)β + (p, s) - (q, s) = 0 --- (5)
(s, t)α - β + (p, t) - (q, t) = 0 --- (6)

式(5)(6)は、αとβに関する連立一次方程式なので、これを解けば、αとβが求まります。そして、これらを式(1)(2)に代入すれば、二点が求まり、最小距離も求まることになります。

注意としては、ふたつの直線が平行のときは、解を持ちません。このときは、点と直線問題に帰着させれば、最小距離を求めることができます。

三次元の幾何学 (5)

点に関する攻略が終了し、次にまいります。

4)平面-直線

これは、線形代数本によく載っているものです。問題は、平面と直線との交点を求めることです。

さて、平面は、

(p, n) = d --- (1)

直線は、

p = a + αt --- (2)

と書けます。混乱を避けるため、止む無く、これまでと記号を変えました。さて、式(1)に式(2)を代入します。

(a + αt, n) = d --- (3)

計算を進めると、

(a, n) + α(t, n) = d --- (4)

式(4)からαが求まります。ここでの注意は、平面と直線が平行の場合、(t, n)はゼロとなりますから、ここをチェック。αが求まると、それを式(2)に代入すれば、交点が求まります。

三次元の幾何学 (4)

次は、以下です。

3)点-直線

直線の式を、以下で表します。

l = p + αt --- (1)

tは正規化されているとします。点qから直線lに垂線を下ろし、その点をlとみなすと、

(q - l, t) = 0 --- (2)

が成り立ちます。内積を展開すると、

(q, t) - (l, t) = 0 --- (3)

式(3)に式(1)を代入すると、

(q, t) - (p + αt, t) = 0 --- (4)

ふたたび展開すると、

(q, t) - (p, t) = α --- (5)

となって、αが求まりました。これは垂線の長さで、垂線を下ろした直線上の点は、式(1)にαを代入すればよいです。

三次元の幾何学 (3)

次は、以下です。

2)点-平面

これに関する計算としては、点から平面に垂線を下ろし、その点の座標や、垂線の長さを求めるものです。

点をqとします。また、平面を、

(p, n) = d --- (1)

とします。nは正規化されているとします。垂線が平面と交わる点をpとみなすと、

q - p = αn --- (2)

と書けます。式(2)の両辺に、nとの内積を取ってやると、

(q - p, n) = (αn, n) --- (3)

式(3)を計算してやります。

(q, n) - d = α --- (4)

内積の展開のとき、式(1)を用いました。

式(4)のαは、まさに垂線の長さです。また、pについては、式(2)に式(4)を代入し、pについて解けばよろしい。

三次元の幾何学 (2)

まずは、点の攻略から。

1)点-点

これは、ふたつの点の距離ですね。点をベクトルとみなすと、引いてやって、絶対値を取ればよいです。すなわち、

|q - p| --- (1)

具体的な計算としては、各成分ごとに引き算して、二乗和をとり、ルートすればよろしい。もっとも簡単です。ウォーミングアップにもならなかったような...

三次元の幾何学

「三次元の幾何学」の基本について、これから数回にわたり、つらつらと記載していきます。

三次元の幾何学の登場人物ですが、点/平面/直線、の三つに絞ります。球とかもあるのですが、こういうのを含めてしまうと、円柱とか、いろいろと出てきてしまいます。なので、まずは簡潔に、上記三つ。

そうしますと、三つから二つを選ぶ組み合わせで、以下の六通りの計算が考えられます。

1)点-点
2)点-平面
3)点-直線
4)平面-直線
5)直線-直線
6)平面-平面

これら六通りについて、これから計算法をご紹介してきます。乞うご期待!

ベクトル解析 (2)

魚金会にて、多様体とか、ファイバーバンドルとかを勉強しています。私には、かなり敷居が高いです。

なんども繰り返して、慣れるしかありませんが、まだ基本が疎かと感じ、関連の蔵書を見直していました。そうしたところ、

志賀浩二先生著「ベクトル解析30講(1989)」

をもう一度復習することにしました。平易な割には、難解な商集合について、丁寧に書かれてあります。

ロジスティック方程式

川平友規先生著、「微分積分 1変数と2変数(2015)」、順調に読み進めています。復習に手頃。

「第14章 微分方程式」、は、そのトピックのクイックコースです。基本的な項目が簡潔に整理されています。

その中に、ロジスティック方程式が出てきました。微分方程式の初歩ではあまり見ない項目です。やはり、応用を意識した良書。

さて、ロジスティック方程式とは、

dy/dx = (k - ay)*y --- (1)

というものですが(同書では式(14.3))、これは実は、機械学習でよく出てくるロジスティック回帰の関数、

dσ/dx = (1 - σ)*σ --- (2)

の一般形です。ロジスティック方程式は、もともと「個体生物学」の分野ですが、機械学習はこれをパクった?

三次元の回転 (2)

任意軸周りの回転に関する回転行列の表現は、よく知られています。複雑なので、ここには書きません。ググるといろいろと出てきます。パラメタは、回転軸ベクトル(正規化が前提)および回転角、です。

この軸が原点を通らないときは、一度、軸が原点を通るように、平行移動してやる必要があります。そして回転後、逆移動してやる。

このとき、二次元と違い三次元では、軸が原点を通るような平行移動の方法は、無限個あります。しかし、最終的な変換行列は、同じにならなければなりません。

手計算ではたいへんなので、Mathematicaで検証してみました。計算を間違えたりしましたが、結果的に、きちんと合いました。こういうのはMathematica。

対数 (2)

∫(1/x)dx = log(x) --- (1)

ですが、以下の式は、log(x)になるのでしょうか?

lim(p->1)∫(1/x^p)dx --- (2)

グラフを描いてみたのですが、どうもならないみたいです。かなり不思議です。理由を知りたい。

対数

x^p --- (1)

(pは実数)の積分を考えます。

これはご存知の通り、

1/(p+1)*x^(p+1) --- (2)

となります。ただし、例外があり、p=-1のときに限り、

log(x) --- (3)

となります。これも周知の事実。

でも、これは非常に不思議です。pは実数なのだから、p=-1となるのは、極めて稀ですね。しかも、少しでもずれると、対数にはならないのです。

湘南工科大学非常勤講師 (21)

湘南工科大学・非常勤講師、すでに13回が終了し、残り3回となりました。

今回は、各授業での課題提出および出席点を合わせ、2,000点満点で換算することにしました。かなりの粒度ではないでしょうか。

最終的には、それを100点満点にするということになります。

角度の計算

「イージス・アショア」配備に絡んで、連日ニュースが報道されています。

配備の是非については、私は疎いので、言及しませんが(できませんが)、いちばん気になったのは、山頂までの角度の計算です。計算された角度が実際よりも大きかったとのことですが、15度と計算されたものが、実は4度だったというものもあったようです。

原因は、Google Mapの高さ方向に誇張があったとのことですが(見やすくするためによくあること)、原因はともかく、計算された角度を見れば、おかしいことはすぐにわかります。こんなに山が高いはずがない。もしや、誇張された側面図を、分度器で測った?タンジェントの計算をすればいいので、高校数学。

計算がブラックボックス化され、結果だけがひとり歩きする危険については、私は以前から危惧していましたが、このような重大な事案を左右する計算に、シロウトでもわかりそうな誤りがあったというのが、今回の驚きですね。数感が必要。

ロマンティック数学ナイトプライム@圏論 #1

2019年6月16日、「ロマンティック数学ナイトプライム@圏論 #1」が開催されました。PKSHA殿セミナルーム?(本郷三丁目)にて。このスペースは素晴らしいです。同じような雰囲気のところは、メルカリ殿(六本木)にもありました。

15時から19時まで、次々とプレゼンが行われました。圧巻だったのは、高校生によるプレゼン。ガロア理論と圏論の関係など、内容は難しくて、まったくわかりません。高校生、恐ろしい。

トリは、この分野の大御所・檜山先生の登場。忘却関手に関する話なのですが、極めて面白かったです。いつものことですが。

檜山先生の講演後、質問コーナや写真撮影がありましたが、私は一足先に退散しました。なにせ、アタマが疲れた...

圏論 (4)

2019年6月16日、「圏論ゼミ」が開催されます。「ロマンティック数学ナイトプライム」の一環です。

圏論(category theory)は、一度挫折しましたが、最近読み始めている物理数学本でも圏論が登場。この分野にも侵略してこられたら、やっぱりやらないと、と思います。

このゼミは、さまざまな人が圏論について喋る、という楽しそうな嗜好です。

湘南工科大学非常勤講師 (20)

湘南工科大学の非常勤講師、本日(2019年5月17日)が第5回です。「基礎解析のためのプログラミング」。数学とプログラミング(Java)を週ごとに交互にやります。

昨年度の反省をもとに、今回は、毎回きちんとパワポ資料を整備。そして、小課題を授業中にやってもらい、本課題は宿題として、次週の講義までにネットに提出してもらうことにしています。いまのところ、順調。

昨年度は、数学については、手書きの解答を出してもらい、それをスキャンすると自動的にネットに提出されるというシステムを使っていました。しかるに、それにバグがあるということで今期は使用中止となり、しかたがないのでドキュメント(pdf)として提出してもらうことにしました。

ただ、数学はやはり「紙と鉛筆」。実際のところ、紙に書いて、それをスマホで撮り、pdf化するという学生さんがいます。Wordの数式で書いてくる人もいます。このあたりはさまざま。私としては、pdfにしてくれればなんでもよい。

Gauge Theories and Fiber Bundles

H先生のブログで、またまた以下の論文を知りました。

Gauge Theories and Fiber Bundles: Definitions, Pictures, and Results, Adam Marsh, February 27, 2019.

以下のものの続編と思われます。日付は同じ。

http://kanouy.blog9.fc2.com/blog-entry-2253.html

同著者による、同内容の書籍も購入してしまいました。GW中に着く予定でしたが、明けに届きました。

令和元年は、このあたりの攻略を開始したいと思っております。10年くらいはかかりそう...
(一生終わらないかも)

ゲーデルの不完全性定理 (6)

H先生による、「ゲーデルの不完全性定理」特別ゼミ、第六回(最終回)が2019年4月6日開催されました。新宿の某所にて。

最終的に、この定理は証明されました。証明は、わずか1ページ(!)。背理法によるものです。

このエッセンスは簡潔ですが、そこに到達するためには、さまざまなスキルが必要です。大筋はわかりましたが、詳細はよくわかりませんでした。これは私のスキル不足によるものです。

ゲーデル数と言われているものもわかりました。H先生曰く、「ゲーデルは史上最強のプログラマ」。

Riemannian Geometry

H先生のブログで、以下の論文を知りました。

Riemannian Geometry: Definitions, Pictures, and Results, Adam Marsh, February 27, 2019.

これはイラストがわかりやすいです。特に、共変微分(covariant derivative)が、わかったような気がします。でも、H先生にとってはご不満なようです(厳密性に欠けると)。でも、私にとっては十分すぎます。

これはarXivで取れます。70ページある大著ですが、少しづつ読み進めていこうと思います。

湘南工科大学非常勤講師 (19)

湘南工科大学の非常勤講師、来年度(2019年4月~)も継続しますので、先日(3月25日)、研修会に出向きました。

昨年同様、大学の現状について、工学部長どのより話をお聴きしました。よいお知らせもありました。

そのあとは恒例の懇親会なのですが、今回は別件があり、退散いたしました。残念です。

微積分学の基本定理

川平友規先生著、「微分積分 1変数と2変数(2015)」は、私の感性にまことにフィットした良書です。

ここに、「第10章 微積分の基本定理」、と題して、この定理が説明されています。ここからが積分に関わる内容となっています。

しかしこの定理は不思議ですね。微分と積分はもともと全く異なる演算とみなされてきたわけですが、それが17世紀、ニュートンやライプニッツらにより、互いに逆の演算であると認識されるに至ったわけです。

高校では普通に逆の演算として教えられているもので、いまさら感があるのですが、考えてみると不思議な定理です。

湘南工科大学非常勤講師 (18)

湘南工科大学の非常勤講師、来年度(2019年度)もやりますので、資料をだいたい作成しました。科目名は、「基礎解析のためのプログラミング」。初回は4月12日。

ついこの前、数学者のSTさんと飲みに行ったとき、ちょっと資料を見てもらいました。すると、微分の説明ところでいろいろと指摘を受けました。もっともなものなので、いまその点を改訂しています。そのため、全体構成も多少変わりました。結果的に、締まりそうです。

ゲーデルの不完全性定理 (5)

H先生による、「ゲーデルの不完全性定理」特別ゼミ、第五回が2019年3月2日開催されました。新宿の某所にて。

すでに落ちこぼれています。論理は難しいです...

最後に、計算論との比較が持ち出されました。なにやら不完全性定理というのは、チューリングの停止問題と関連しているようですね。このあたりは最終回(4月6日)に解明されることになっています。
プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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