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投影行列 (2)

前回の記事では、三次元空間における、投影行列について紹介しました。今回は、行列の固有値問題に登場する投影行列の紹介です。

nxn対称行列Aは、以下のように対角化できることが知られています。

A = Udiag(λ1, λ2, ... ,λn)UT --- (1)

ここで行列Uは、各固有値λiに対応する固有ベクトルuiを、順序よく列ベクトルとして並べたものです。綺麗な式で、これは有名ですね。いわゆる、「対称行列は直交行列で対角化できる」という、線型代数における最重要定理のひとつです。

でも、ここではまだ投影行列は出てきません。

さて、式(1)を固有値ごとにまとめてやると、以下のように書けます。

A = λ1u1u1T + λ2u2u2T + ... + λnununT = ΣλiuiuiT --- (2)

ここで、投影行列Piが登場!

Pi = uiuiT --- (3)

とおくと、式(2)は、

A = ΣλiPi --- (4)

と、簡潔に書けるのです。式(4)を日本語にすると、「対称行列Aは、固有ベクトルへの射影を、対応する固有値で重みづけした線型和で表わされる」、ということです。式(1)よりも、式(4)のほうが、意味としてはよくわかりませんか?
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投影行列

三次元空間において、よく出てくる計算のひとつをご紹介しましょう。それは<投影>です。<投影>には、ベクトルへの投影PVと、平面への投影PPがあります。これらを、行列の形で求めてみましょう。

三次元ベクトルxを、単位ベクトルuに投影したときのベクトルx'が、

x' = (x,u)u --- (1)

と表わされることは簡単にわかります。さて、これを行列で書きたい。

x' = PVx --- (2)

とすると、PVは、実のところ、

PV = uuT --- (3)

と、エレガントに表わされるのです(uTuは内積ですので混同されないよう!)。式(1)を展開して整理すると、式(3)になりますので、ご確認ください。

では、単位ベクトルuを法線とする平面に投影する行列PPは如何に?ベクトル表現では、

x' = x - (x,u)u --- (4)

となるので、

x' = PPx --- (5)

とすると、行列PPは、単位行列IからPVを引いたもの、すなわち、

PP = I - PV --- (6)

で表されます。なかなか綺麗に書けますね~

今後のマラソン予定 (11)

軽井沢ハーフマラソン2012(長野、2012年5月20日)が滞りなく終了、今シーズンはついに残りひとつです。

1)第11回さくらんぼマラソン(山形、2012年6月10日、ハーフ)←三年連続

来シーズンは、まずは以下のふたつ。ひとつはまだ決まっていません。

2)第7回湘南国際マラソン(神奈川、2012年11月3日、フル)←四年連続
3)大阪マラソン2012(大阪、2012年11月25日、フル)←応募済み、6月中旬抽選

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さて、軽井沢ハーフですが、好天に恵まれました。少し暑かったくらいです。私にはちょうどよし。

記録はネットで、1時間56分43秒でした。最近のハーフは、だいたいこんな感じです。ハーフの目標としては、グロスでの2時間切りを意識しています。タイムロスはその都度違いますし、自分ではコントロールできないのですが、一応公式タイムですからね。

さて、今回ですが、残り5キロくらいで、計算上ではグロス2時間を切れそうな感じです。最後にペースが落ちましたが、たぶん切れると思っていたところ、何と、2時間00分05秒でした。計測誤差があった!一度給水で水が器官に入り、せき込みましたので、そのタイムロスでしょうか。

特筆すべきは、<数学同好会>落合さんの、マラソン初参加。ご本人の予想よりもかなりタイムがよかったらしく、レース直後は既に次回のレース物色を!私はマラソンにハマるタイプを何人か見ていますが、マラソンというのは、必ずしも運動をしてきた人がハマるわけではありません。実際、落合さんはこれまであまり運動経験がないそうです。この方は、間違いなくハマりますね。<数学同好会>の分科会で、<マラソン同好会>ができるカモ。

立体協3D映像セミナー (5)

先週(2012年5月23日)開催の、「立体協3D映像セミナー」は、関谷隆司さん(立体映像クリエイター)による、ご講演でした。タイトルは、「3D映像制作における、画面サイズと視差設計」。立体映像制作では、世界的に活躍されている方です。

さて、内容ですが、長年の経験に裏打ちされた、説得力抜群のものでした。以下、少しご紹介しましょう。

見やすい立体映像制作には、視差量の設計に十分な注意を払う必要がありますが、関谷さんのツールは、視差量と、最近被写体距離/最遠被写体距離/ステレオベース(基線長)/レンズ焦点距離、との関係式です。これらはひとつの等式で結ばれますから、ある変数を求めたい場合、その他の変数を指定してやれば、求められるのです。この計算を行う、スグレもののiPhoneアプリもご紹介いただきました。

関谷さんの、自然で見やすい立体映像は、このような計算により、裏付けられているわけです。最後に上映された、花火の立体動画は、凄かったですね。あんなにきれいな立体映像はなかなかお目にかかれません。見逃した方、まことに残念!

本講演のテーマである、立体映像に特有の<サイズ過敏性>についても、詳しく説明されました。つまり、制作時に想定したモニタサイズよりも、大きい/小さいサイズのモニタで観察する場合への、注意点や対処方法ですね。

特筆すべきは、説明スライドも立体映像だったこと。これはそう易々とできることではありません。

さて、やはりと言いますか、交差法と平行法の話題も出ました(制作するときの話で、観察するときの話ではない)。これらの方法をひと通り説明されたのち、関谷さんの結論は、「どちらも補正するから同じことです」、ということでした。然るに、私はこの点だけにはこだわりがあって(本BLOGにも繰り返し書いた)、平行法は交差法に、全ての点で勝ると思っています。でも、考えてみるに、これらに対する思い入れというのは、CG出身者か実写出身者かに拠るのでは、と思いました。

私はCG出身で、既に死語となったGWS(Graphics WorkStation)を用いて、リアルタイムでガンガンに立体CGを生成したのが、本分野への関わり始めです。<非対称透視投影>という、平行法+HIT(Horizontal Image Translation)により、立体映像を簡単に生成できる技法が使えたので、議論の余地なく、平行法で決まりだったわけです(交差法を使う理由がないし、当時から交差法はCGでは禁じ手とされた)。然るに、実写の場合、二台のリアルカメラを使う状況においては、必然的に交差法が自然な形だったのでしょう。このような歴史的経緯に基づく、考え方の違いなのだと理解いたしました。

Cachaça (2)

"Cachaça"というのは、Moraz/Brufordの曲です。"In Tokyo"というCDに収録されていて、"Children's Concerto"と並んで、私の好きな曲です。ただ、この曲の<発掘>には苦労しました。その顛末は、2011年6月3日付け記事をご覧ください。

ところで、"Cachaça"の意味はというと、上記記事のコメントにいただいたように(ブラジルの大学出身Tさんより)、ブラジルのお酒の名前です。読み方は、「カシャーサ」だそうです。しかし、なかなかブラジルのお酒を出すところはなく、ちょっと忘れていました。

然るに、この週末(2012年5月19-20日)、ハーフマラソンを走りに軽井沢に行ったのですが、なんとそこで、"Cachaça"を飲むことができました!

経緯ですが、マラソン前日、あるカフェに入ったのですが、そこはブラジル風のカフェ。アサイーという栄養価抜群の果物を食すのが目的でしたが、そこのメニュに"Cachaça"を発見!

訊いてみると、かなり強い酒だというので、マラソン前日ということで、ちょっと躊躇しましたが、これも何かの縁と、飲んでみました。サトウキビベースの蒸留酒で、確かにアルコール度は高そうですが、飲みやすいです。私の経験では、この類のお酒は、次の日に残りません。調子に乗って、もう一杯頼もうかな~とも思いましたが、これはさすがにやめました。

さて、マラソン後ですが、そのあと入ったお店も、なんとブラジル料理やさん(軽井沢とブラジルの関係や如何に?)。ここでは、"Cachaça"という文字の入ったペナントのようなものが、壁に貼ってありました。一応、お店のかわいいブラジル人(に間違いない)お嬢さんに、発音を訊いてみると、「カシャーサです」とのことでした。

(あれ、音楽ネタではなくなってしまった)

視差角の謎 (5)

しつこく<視差角>の話題です。

<視差角>とは、ディスプレイ面を見たときの輻輳角θと、立体視によりディスプレイ面から離れた空間を知覚したときの輻輳角θ'との差です。すなわち、<視差角>=θ'-θです。<視差角>は以下の式で計算できます。

θ'-θ=ε/ D --- (1)

ここで、εはディスプレイ上の視差、Dは視点とディスプレイ面との距離です。近似式ですが、通常の状況では、精度はよいです(三角関数を使わなくてよい)。

さて、「立体映像の安全性」を議論する際に、「<視差角>が1(deg)以下でなければいけない」、などと言われます。最近の立体映像は、このガイドラインに沿っているものが多くなってきました。

然るに、私は元々はバーチャルリアリティ(VR)の出身です。そして、VRにおいては、何より映像の臨場感が求められます。このような背景を持つ私としては、「<視差角>1(deg)以下」、というのは、ちょっと制約が厳しいカモ、などと常々思っていました。

たとえば、VRにおいて有名な、CAVE(Cave Automatic Virtual Environment)環境を考えてみましょう。CAVEというのは、前/左右/下の四方向を、スクリーンで覆ってしまうものです(これがオリジナルですが、スクリーン構成では、さまざまなバリエーションがあります)。この各スクリーンで立体映像を提示することにより、極めて臨場感の高い視覚環境を構築することができるのです。私もいくつかクローンを作りました(長崎/上海/つくば、など)。

さて、このCAVE環境で<視差角>を計算してみましょう。スクリーン幅を3mとし、中心にヒトが立っているとします。そのヒトの眼間距離を6.5cmとします。この状況で、オブジェクトが、スクリーンからヒトまでの距離の、2/3あたりまで飛び出したとしましょう(つまり1m飛び出す)。これはCAVE環境ではありえることです。この状況で、式(1)により<視差角>を計算すると、約5(deg)となります(6.5x2/150、として計算)。

この値は、現在の「立体映像の安全性」からすると、とんでもなくNGなので、いまどきの基準では、CAVEというのは使えないことになってしまいますね。誠に残念であります。

立体協3D映像セミナー (4)

本日(2012年5月23日)は、立体協「3D映像セミナー」です。概要は以下です。当社の大阪本社にも問い合わせがありました。もしや、人気かも!ぜひご参加のほどを...。

【タイトル】
第2回立体協3D映像セミナー「3D映像制作における、画面サイズと視差設計」

【場所】
パナソニック映像(株) パナソニックデジタルラボ
http://panasonic.co.jp/snc/pvi/access/tokyo.html
(東京モノレール/りんかい線 天王洲アイル駅から徒歩7分)

【日時】
2012年5月23日(水)
・12:30~ 受付開始
・13:00~17:00 セミナー予定
・終了後 交流会予定

●参加費:立体協会員(2011,2012年度会員) 無料
非会員参加費 3,000円 ※ただし、当日5,000円をお支払いただければ、当日より個人会員として立体協入会、2012年度分年会費として徴収させていただきます。

【概要】
本セミナーは、3D映像制作の課題の一つである、「表示サイズによる視差の違い」をテーマにした体験型のセミナーです。日頃はターゲットの表示サイズに合わせて視差設計をするわけですが、昨今のワンソースマルチユース的な発想としては、「映画作品をブルーレイ化して販売したい」、「テレビシリーズをイベントで大スクリーンで上映したい」など想定外のサイズで表示するケースも出てきています。本セミナーでは、200インチ、50インチ、3.8インチの表示デバイスを使って同じ作品を表示してみます。

まずは基本の視差設計を学び、その後想定サイズ以外での見え方を体験します。3D映像のカメラマンはもとより、制作プロデューサー、ディレクター、編集マン、3D製品の開発者など3D映像に関わる幅広い方々を対象としています。また、日頃制作している作品を違うサイズで見てみたいなど、条件が合えば参加者の素材も上映してみたいと思います。 ※詳細は文末をご覧ください。

【講師】
立体映像クリエイター (株)ステレオアイ代表 関谷隆司氏

【オーガナイザー】
3D映像コンサルタント アンビエントメディア代表 町田 聡氏

欧州語の名詞性別事情

私は大学時代、第2外国語としてドイツ語を選択しました。そのとき、名詞に男性/女性/中性、の区別があることに驚きました。何故って、英語にはありませんからね。

先日、フランス人知人Y氏と話していて、この話題となりました。フランス語では、男性/女性名詞のみで、中性はないそうです。また、ドイツ語の男性/女性名詞と、フランス語のそれとは、必ずしも一致しない、とのことでした。複雑だ~

次は、イタリア人知人M氏の登場。さて、イタリア語はどうかというと、フランス語同様、男性/女性、のみです。然るにこれも、フランス語のものとは必ずしも一致しない。ウ~ン、統一規格制定の機運はないのでしょうか?

このような名詞の性を、どのように覚えるかというと、全てのヨーロピアン知人は、「ルールはないので、ひたすら覚えるしかない」と言います。でも、ホントかな?

さて、本当に全ての名詞が姓を持っているかを、M氏にテストしてみました。このときは、ガラにもなく築地で寿司を食べていたので、醤油の入れ物、ガリの入れ物、と矢継ぎ早に訊いてみました。すると、即座に「女性!」と答えが返ってきました。なるほど、容器類は女性かな、などと推測すると、M氏は、醤油を入れる皿は男性である、と言ってきました。あ、なるほど、でも、なんとなくルールがありそうな気もしますけど...

M氏はドイツにいたこともあるので、多少ともドイツ語ができるのですが、ドイツ語では<子供>という名詞は、中性だそうです(私もたぶん習ったが忘れた)。然るに、イタリア語には中性がないので、子供は<男性子供>と<女性子供>という、二種類の名詞があるわけです。となると、「あなたには子供がいますか?」などという、性に関係のない質問はしづらい(できない)、ということになりますね。

立体協総会/記念講演会 (3)

立体協では、以下の要領で、総会および記念講演会を開催いたします。奮ってご参加ください。私は、たぶん総合司会をやらされると思います。総会は正会員限定ですが、講演会は正会員でなくても無料で参加できます!

(ここから)-----------------------------------------------------------

【立体協総会/記念講演会】
●日時:2012年6月1日(金)
    総 会 13:10~13:50
    記念講演会 14:00~17:00
    拡大交流会 17:15~19:15

●会場:東京工芸大学 中野キャンパス本館 02教室
    http://www.t-kougei.ac.jp/guide/campus/access/#nakano
    (地下鉄/東京メトロ丸ノ内線・都営地下鉄大江戸線-中野坂上駅下車徒歩約7分)

●概 要
【総会】
 ・第1号議案:2011年度事業報告
 ・第2号議案:2011年度収支決算報告
 ・第3号議案:2012年度会長の選任
 ・報告事項1:副会長、顧問、幹事、運営委員の任命
 ・第4号議案:2012年度監査の選任
 ・第5号議案:2012年度事業計画
 ・第6号議案:2012年度収支予算

【記念講演会】
14:00~14:05 2012年度会長挨拶
14:05~14:50 「3D表示技術 ― 空中像,視覚,錯視,思い込み ―」
         講師:徳島大学 陶山史朗氏(質疑応答含む)
14:50~15:00 休憩
15:00~17:00「立体はなぜ流行らないか?」

「第三の波」と言われた、<立体(3D)映像>ですが、なかなか立ち上がらない、というのが一般の印象でしょう。ただ、日本以外では立ち上がっている、という話もあります。このような現状について、専門家集団が徹底討論いたします。

司会:坂田恵美子氏(ふじわらロスチャイルドリミテッド)
登壇(五十音順):大口孝之氏(映像ジャーナリスト)・掛谷英紀氏(筑波大)・陶山史朗氏(徳島大)
         名手久貴氏(東京工芸大)・町田 聡氏(アンビエントメディア代表)
         渡部健司氏(デジタルキャンプ/専修大)

17:15~19:15 交流会

【拡大交流会】
 会場近辺(中野坂上周辺)にて開催いたします。
 ・参加費 3,000円~4,000円(予定)

お申込み、お問合せにつきましては、直接、当協議会事務局様までお願いいたします。
※立体協事務局( n.kita@adcom-media.co.jp )

(ここまで)-----------------------------------------------------------

Ultimateの謎

この週末(2012年5月13日)、サッカー仲間(およびその知人)と茅ヶ崎海岸で、地引網を楽しんだあと(殆ど収穫なし、サメが2匹かかった)、鵠沼海岸で、ultimateというスポーツをやっているというので、どれどれと行ってみました。

ほとんど知られていないスポーツと思いますので、ルール等はWikipediaをご覧いただきたいのですが、そこに書いてあるように、バスケとアメフトを合わせたようなものです。コートはその中間の広さですね。ボールの代わりにフライングディスク(フリスビー)を使います。

最初にこのスポーツを聞いたとき、フリスビーをボールの代わりに使って、果たして面白いのかどうか疑問だったのですが、見てみてわかりました。これは面白いです。

たとえば、アメフトのタッチダウンのような場面がありますが、ボールだとヒトより速度が速いし、すぐに落下してしまいますね。然るに、フリスビーだと、その速度が走るヒトの速度とうまくマッチしていますし、なかなか落ちてこないので、攻守のせめぎ合いが結構迫力ありますよ。流行りそうな予感です。それとももう流行っている?

横浜ラーメン事情

私の事務所の近場(関内/横浜)における、ラーメン事情です。以下、<ラーメン協議会>会員(=私)より報告(会長はP社Sさん)。

関内地区は、かなりのラーメン屋さんがあります。私の事務所から徒歩5分圏内では、少なくとも5軒あります。徒歩10分圏内では、少なくとも10軒あります。徒歩10分以上だと、どれだけあるか、不明。

その中でも、いま気にいっているのは、「ひとふんばり」です。私の事務所から、徒歩10分ちょっとの距離(JRを挟んで逆側)。このお店本来の味は醤油豚骨ですが、塩がかなりイケます。私は元々、塩派なのです。

横浜駅周辺まで足を延ばすと、ここにもラーメン屋はたくさんありますが、私のイチ押しは、「浜虎」ですね(前々職のすぐそば)。ここの塩(普通/コクの2種類)は、かなりのものと思います。太麺も私好み。他には、相鉄ジョイナス地下の、「札幌や」です。こちらは、店員さん同士があまり仲が良くないようですが、味は良いという、なかなか風情のあるお店です。

Google検索の謎 (2)

Google検索の続報です。私の屈BLOG記事がトップに来るキーワード、などとのたまったもののうち、<グラフカット>はしっかりと落ちました(3番手)。これは当然であります。ちなみにトップは、この分野権威の某先生のエントリ。

そのあと見つけた、トップに来るキーワードは以下のものがありました。つまらない記事ですが、羅列しておきます。

1)射影変換
2)iの平方根
3)log polar
4)今後のマラソン

1)射影変換
これはかなりヤバいです。何故って、射影変換に関するまっとうなエントリは、それこそたくさんありますからね。私の記事はかなりみっともないものです。早くトップの座を明け渡したいです。

2)iの平方根
これは、少しばかり面白く書きました。だから、まあ良しとする?

3)log polar
Log-Polar変換に関する記事をひとつだけ書きました。これだけで何故トップに来るか?

4)今後のマラソン
マラソンの予定を適宜書いていますからね...。

リーマン予想 (3)

当社大阪のYさんが、リーマン予想に関する本を読んでいるとFacebookで書いてきたので、いろいろとコメントのやりとりをしていました。

私は何冊か、この話題に関する一般向けの書物を読みましたが、もう少し専門的な本となると、H. M. Edwards著、"Riemann's Zeta Function (1974/2001)"でしょうか。本書も一般向けの書籍だとは思いますが、かなり数学的に書かれています(というか数式満載)。リーマンの1859年原著論文(の英訳)も付録で掲載されています。それにしても、リーマン、かっこいいなあ~

しかし、リーマンという人は、当たり前ですが、恐るべき天才だったようですね。彼は相対論などの基礎となった、微分幾何学で有名で、数論に関する論文といえば、これ一編だったと言われています。でも、ここで提示された問題が、いまだに解けない超難問と言われているわけですからね。更には、上記本によれば、この論文が出たのち、30年ほどはこのテーマではほぼ全く(virtually)進歩がなかったとのことですが、これは周囲の数学者が、リーマンの言わんとすることを理解しようとしていた期間だった、ということです。恐れ入りました!

立体協3D映像セミナー (3)

立体協では「3D映像セミナー」を、以下の要領で開催いたします。ぜひご参加ください。以下、会員向け案内メールです。

(ここから)-----------------------------------------------------

【タイトル】
第2回立体協3D映像セミナー
「3D映像制作における、画面サイズと視差設計」

【場所】
パナソニック映像(株) パナソニックデジタルラボ
http://panasonic.co.jp/snc/pvi/access/tokyo.html
(東京モノレール/りんかい線 天王洲アイル駅から徒歩7分)

【日時】
2012年5月23日(水)
・12:30~ 受付開始
・13:00~17:00 セミナー予定
・終了後 交流会予定

●参加費:立体協会員(2011,2012年度会員) 無料
非会員参加費 3,000円
      ※ただし、当日5,000円をお支払いただければ、当日より個人会員として立体協入会、2012年度分年会費として徴収させていただきます。

【概要】
本セミナーは、3D映像制作の課題の一つである、「表示サイズによる視差の違い」をテーマにした体験型のセミナーです。日頃はターゲットの表示サイズに合わせて視差設計をするわけですが、昨今のワンソースマルチユース的な発想としては、「映画作品をブルーレイ化して販売したい」、「テレビシリーズをイベントで大スクリーンで上映したい」など想定外のサイズで表示するケースも出てきています。本セミナーでは、200インチ、50インチ、3.8インチの表示デバイスを使って同じ作品を表示してみます。

まずは基本の視差設計を学び、その後想定サイズ以外での見え方を体験します。3D映像のカメラマンはもとより、制作プロデューサー、ディレクター、編集マン、3D製品の開発者など3D映像に関わる幅広い方々を対象としています。また、日頃制作している作品を違うサイズで見てみたいなど、条件が合えば参加者の素材も上映してみたいと思います。 ※詳細は文末をご覧ください。

【講師】
立体映像クリエイター (株)ステレオアイ代表 関谷隆司氏

著書:「はじめての3D映像制作」共著 オーム社2011
「3D-TOKYO」 新風舎2006

【オーガナイザー】
3D映像コンサルタント アンビエントメディア代表 町田 聡氏

著書:「はじめての3D映像制作」共著 オーム社2011
   「3Dマーケティングがビジネスを変える」共著 翔泳社2011

【内容】
1.3D映像における視差と見え方
2.実写における視差設計
3.視差計算ソフトの使い方
4.3D映像の異なるサイズでの上映比較
   ・200インチスクリーン
   ・50インチ3DTV
   ・3.8インチ裸眼3D携帯電話
   に写して、見え方の違いを比べてみる

5.参加者とのディスカッション
6.その他

※参加者持込素材を上映します。
 ・参加者が持参した素材を時間内で上映します。
・ただし、諸般の事情で上映できない場合もありますので予めご了承ください。
 ・持込素材は、
  ブルーレイディスクに1920x1080のサイドバイサイド形式で記録され、
  ブルーレイプレーヤーで再生できるものである必要があります。
  (200インチ、50インチ)

※上記のフォーマットでも再生プレーヤーとの相性で再生できない場合があります
※携帯電話で視聴したい方はあらかじめメールでお問合せください。

7.交流会
  参加費はお一人あたり2,000円~3,000円を予定しております。講演者の皆様にもお時間が許す限りご参加いただく予定です。こちらもぜひふるってご参加下さい。

(ここまで)-----------------------------------------------------

2012 Japan IT Week 春

本日(2012年5月11日)は、「2012 Japan IT Week 春」に行ってまいります(なぜか<春>だけ漢字)。会期は5月9-11日なので、今日が最終日です。東京ビッグサイトにて。以下の12の展示会がセットになっていて、かなり規模は大きそうです。

-ソフトウェア開発環境展
-データウェアハウス&CRM EXPO
-組込みシステム開発技術展
-データストレージEXPO
-情報セキュリティEXPO[春]
-RFIDソリューションEXPO
-ダイレクトマーケティングEXPO
-Web&モバイルマーケティングEXPO[春]
-データセンター運用構築展
-クラウドコンピューティングEXPO[春]
-スマートフォン&モバイルEXPO[春]
-ワイヤレスM2M展

似たようなものがありますね。もう少し整理したほうが良いような...

私のお目当ては、アレとアレとアレです。では、行ってまいります!

行列のランク

元同僚で、いまFacebookフレンドの三品くんから、FB上に数学の問題が出されました。彼がいま通っている(!)T大の宿題だそうです。

(ここから)--------------------------------

nxn正方行列ABが、

AB = 0 --- (1)

を満足するとき、以下の式を示せ。

rank(A) + rank(B) ≦ n --- (2)

(ここまで)--------------------------------

三品くんは、いままさに勉強しているので、きちんとした<数学的解答>を書いたようですが、私にはそのような知識は既にないので、<直観>でいきます。

さて、式(1)の意味を考えてみると、まずn次元の空間はBにより、n次元以下の部分空間に写されます。次に、その部分空間はAにより、零空間(null space)に写されます(つまり消滅する)。このことを、ランクに着目して式にすると、まさに式(2)となりますね。というわけで、<直観>的に納得。数学的な証明をするつもりは私にはないので(できないので)、私的にはこれでOKです。

いちおう、三次元空間(n = 3)での例を挙げてみましょう。Bが、ある平面への射影とすると、rank(B) = 2、です。次に、Aがその平面の法線ベクトルへの射影とすると、rank(A) = 1で、AB = 0、となります。

これはよいのですが、気になって、式(2)の周辺の事情を調べてみたら、私の線型代数のバイブル(のひとつ)、"Matrix Analysis and Applied Linear Algebra (2001)"の211ページに、以下の式がありました。

rank(A) + rank(B) ≦ n + rank(AB) --- (3)

式(2)は式(3)の特殊な場合ですね。これで一段見通しがよくなりましたが、一方では、式(3)は既に私の<直感>が利かなくなりました。

2D-to-3D conversion (6)

このGW中、「タイタンの逆襲(Wrath of the Titans, 2012)」を観てきました。もちろん3Dです。私は3Dでやっている映画は、必ず3Dで観るのです。

前作の、「タイタンの戦い(Clash of the Titans, 2010)」は、2D-3D変換が、えらく評判悪かったですね。悪い2D-3D変換の代名詞みたいになってしまいました。私はこれも観ましたが、そこまでひどくはなかった気がしますけど(2010年5月13日付BLOGをご覧ください)。

さて、「タイタンの逆襲」ですが、これは思いのほか楽しめました。ストーリーは単純ですが、戦いのシーンはなかなかだと思いました(でも、クロノスはあっけなくやられた。時間切れ?)。3Dについては、これも前作同様変換ですが、かなり改善されていたという印象です(というか、前作もそんなにひどいとは思っていないが)。映画の内容とは裏腹に、派手さのない、穏やかな感じの3Dでしたね。

参考にと、ネットで見られる数々の評(英語のもの)を見てみると、ストーリーには見るものはないが、3Dは前作よりも断然よい、との論調ですね。特に高尚さを期待せず、2D-3D変換の現状や、戦いのCGシーンを堪能されたい方にはお薦めします。

いまや、殆ど飛び出さない3D映画。これは、時代が成熟したと見るべきでしょうか。

IDW/AD'12

IDW/AD'12の"Final Call for Papers"が届きました。私はもちろん書きません(書けません)。でも、参加しようかな。京都国際会議場で、2012年12月4-7日、の会期です。

ちなみに、IDW/AD'12の正式名は、"The 19th International Display Workshops in conjunction with Asia Display 2012"、です。

昨年2011年は名古屋でIDW'11があり、初めて参加してみました。基本的にはディスプレイのハードウェア寄りの国際会議です。でも、そろそろソフト寄りの話も出てきていますね。今回のキーノートのひとつは、MR/AR関連のようです。

OpenGLを用いた立体視プログラム (3)

かなり前のこと、CQ出版社の月刊誌、<インターフェース>2011年1月号に、<OpenGLを使って立体視の絵を作ろう!>という記事を書きましたが、それのCD-ROM版を、同出版社よりいただきました。

どれどれと見てみると、2011年全ての月刊誌がpdfに納められています。なかなか綺麗です。定価13,000円なり!

東日本大震災義援金

一昨年度(2010年度)、決算時に、東日本大震災の義援金をお送りしたことは、以前の関連記事にてお伝えしました。

昨年度(2011年度)も、引き続き、義援金をお送りしています。被災地の方々の助けに、少しでもなりますように。

立体協運営委員会

本日(2012年5月1日)は、立体協の運営委員会です。当社は休みですが、私はお勤めであります。
プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM・SIGGRAPH(Professional Member)/情報処理学会(正会員、CVIM会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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