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主法線ベクトルの謎

空間曲線で言うところの、「主法線ベクトル」とは、接線ベクトルの変化ベクトルを言います。フレネーセレ(Frenet–Serret)の公式、

e1' = ke2 --- (1)
e2' = -ke1 + τe3 --- (2)
e3' = -τe2 --- (3)

の式(1)ですね。曲率kが登場する、重要な式です。ここでの注意は、式(1)(2)(3)の微分は、いわゆる<弧長>による微分だということ。これが、事をややこしくしているわけです。

さて、空間曲線が、<弧長>ではなく一般のパラメタtで表されている場合に(これが普通、p(t)とします)、ke2を求めたい。残念ながら、d2p(t)/dt2は、e2の方向に一致しません。なぜならば、

dp(t)/dt = dp(t)/ds・ds/dt = ds/dt・e1 --- (4)

式(4)を更にtで微分して、

d2p(t)/dt2 = k(ds/dt)2e2 + d2s/dt2e1 --- (5)

しかるに、式(5)から、ke2をtの式で表すことができます。即ち、

ke2 = (d2p(t)/dt2 - d2s/dt2e1) / (ds/dt)2 --- (6)

ここで、

ds/dt = |dp(t)/dt| --- (7)

d2s/dt2 = d|dp(t)/dt|dt --- (8)

と計算できます。式(6)に、式(4)(7)(8)を代入すれば、式(6)の右辺はtの関数で表すことができます。

以上、私の備忘録ですが、これははたして正しいのでしょうか?どこの本にも載っていないので、怪しいゾ。
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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