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Pattern Recognition and Machine Learning (10)

Gaussianのさまざまな計算の際、共分散行列(これは対称行列)Σの逆行列が、対称行列であることを利用します。

BishopのPRML、85ページに、以下の記述があります。

"... the inverse of a symmetric matrix is also symmetric, ..."

さらっと書かれていて、自明なのでしょうが、私にとっては必ずしも自明ではなかった。というわけで、苦手な証明をします。

まず、「逆」と「転置」は可換であることの証明。

I = Σ-1Σ = (Σ-1Σ)T = ΣT(Σ-1)T --- (1)

いわゆる、'transpose trick'を使っています。式(1)の左から、(ΣT)-1をかけると、

(ΣT)-1 = (Σ-1)T --- (2)

が示されました。この結果は、Σが対称行列でなくても成り立ちます(その属性は使ってない)。

さて、式(2)を使うと、

(Σ-1)T = (ΣT)-1 = Σ-1 --- (3)

となり、最初のBishopの主張が証明されました。自明な方には申し訳ありません!
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第四期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(委員)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

---------------------

前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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