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曲線と曲面の微分幾何 (7)

ガウス・ボンネの定理の応用について、簡単なものを計算してみましょう。

A1∧θ2 + ∫∂A kgds = 2π - Σεi --- (1)

平面上の三角形は、左辺が全てゼロになってしまうので、そうでないもの。たとえば、球を八等分したときの領域(つまり、経線と赤道を辺とする三角形)に適用してみましょう。

まず、簡単な右辺から。

(右辺) = 2π - Σ(π - 内角i) = Σ内角i - π --- (2)

次に左辺ですが、第二項はゼロです。なぜならば、この三角形の辺は球の測地線なので、測地的曲率はゼロです。なので、第一項だけを計算すればよい。

半径aの球のガウス曲率K=1/a2ですが、半径は1ととっても結果は同じなので、そうします。なので、K=1。また、ふたつの微分形式は、

θ1 = du --- (3)
θ2 = cos(u)dv --- (4)

です(この導出は長くなるので省略。同書188ページ参照)。あ、(u, v)を定義していませんでした。uは上下方向(つまり緯度)、vは左右方向(つまり経度)の角度とします。これで、左辺第一項の積分ができます。範囲は、u, vともに、0≦≦π/2、です。式(3)(4)を用いて、

(左辺) = ∫dv∫cos(u)du = π/2 --- (5)

式(2)(5)より、

Σ内角i = (3π)/2 --- (6)

と正しく計算できました。実際、この三角形の三つの角度は全て90度なのでした。
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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