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曲線と曲面の微分幾何 (8)

前回のガウス・ボンネの定理の応用では、測地的曲率がゼロでした。これが値を持つ場合を計算してみましょう。

A1∧θ2 + ∫∂A kgds = 2π - Σεi --- (1)

八等分した球に対して、赤道を通る辺を少し上に持っていってやります。つまり、u>0となる緯線を底辺とします。このように構成した三角形も、内角の和は(3π)/2のはずです。これを確かめたい。

まずは式(1)の左辺第一項。前回と同じで、

θ1 = du --- (2)
θ2 = cos(u)dv --- (3)

積分範囲は、u≦u≦π/2、0≦u≦π/2、です。なので、

(左辺第一項) = ∫dv∫cos(u)du = (π/2)(1 - sin(u)) --- (4)

次に、左辺第二項を計算します。球の測地線は大円だけなので、この場合は測地的曲率を持ちます。すなわち、

kg = sin(u) (dv/ds) --- (5)

(導出は長くなるので省略。同書197ページ参照)

(左辺第二項) = ∫sin(u)dv = (π/2)sin(u) --- (6)

式(4)(6)から、

(左辺) = π/2 --- (7)

となるので、式(1)(7)より、

Σ内角i = (3π)/2 --- (8)

と、またまた正しく計算できました。ガウス・ボンネの定理、すばらしい!
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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