Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics (6)

Eric Lengyel, Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics, Third Edition, 2011.

Chapter 8 'Visibility Determination'、8.2 'Bounding Volume Tests'の、楕円体のテスト方法（8.2.2 Bounding Ellipsoid Test）に、感銘を受けました。要は、視野円錐台と（view frustum）、境界楕円体（bounding ellipsoid）との干渉テストですが、この計算、この本でしか見たことない。だいたい、境界に楕円体をサポートしているツールって、ありましたっけ？

ここで紹介されている方法は、数学的にもさまざまな練習になります。流れをざっと書くと、まず楕円体の表面上の点Pを、楕円体の軸ベクトル（三つで既知、R、S、Tとする）、およびふたつの角度（これは未知）で表します（極座標の楕円体拡張）。そして、法線ベクトルNを持つ面と接するという条件（点PのNへの射影の長さ（r_eff）が最大となる）で、定式化してやります。すなわち、

r_eff = (P, N)の最大値 --- (1)

ここからは最大値を求める話です。(P, N)を、ふたつの角度で偏微分してやって、角度を求めます。三角関数が出てくるので、計算は結構ややこしい。理解はできますが、自力ではめげそう...

そうすると、

r_eff = √((R, N)² + (S, N)² + (T, N)²) --- (2)

と計算されます（同書では、式(8.40)）。結果は簡単でめでたしです。

これはよいのですが、式(2)は恐ろしく簡単です。なので、楕円体がきちんと理解されていれば、同書で説明されているようなややこしい計算は必要なく、<洞察>により式(2)が閃くのではないか、と思われました。

それで、ちょっと<洞察>してみたのですが、残念ながら私の<洞察力>では、式(2)が出てきません。もう少し<洞察>してみます。