全分散の公式

全分散の公式、と言われているものがあります（英語での呼び名は確認できず）。

V(u) = E(V(u|v)) + V(E(u|v)) --- (1)

VとEは、それぞれ分散と平均をとる操作です。さて、式(1)が導けますでしょうか？

これの準備としては、まず、

E(u) = E(E(u|v)) --- (2)

が必要です。これは、Eの定義に戻ってやればよいです。すなわち、

E(u) = ∫u p(u)du = ∫u (∫p(u, v)dv)du = ∫u (∫p(u|v)p(v)dv)du = ∫(∫u p(u|v)du)p(v)dv = E(E(u|v)) --- (3)

それからもうひとつ、分散でよく使う式が、以下です。

V(u) = E(u²) - (E(u))² --- (4)

これは有名なので、証明なしに使います。ここまでが準備。次回に続きます。