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ラグランジュの未定乗数法

ラグランジュの未定乗数法(Lagrange multipliers)、理系の教養数学ではあまりきちんと説明されないところですが(大学で習った記憶がない)、応用上、極めて重要であります。

BishopのPRMLには、ラグランジュの未定乗数法の記載がたくさん出てきます(というか、機械学習本では必須の技術。確率の総和がイチであるという制約がありますから)。第1章に、エントロピーの説明があるのですが、そこに、

H = -Σp(xi) log(p(xi)) + λ(Σp(xi) - 1) --- (1)

を最大化するという問題が出てきます。原書では式(1.99)です。PRMLでは、このレベルの解法は、prerequisiteとみなされているので、なんの説明もなく、

P(xi) = 1/M --- (2)

であると記載されます(ただしMはiの取りうる数)。式(2)の意味は、確率が均質なほど、エントロピーは高いということです。これを導出してみましょう。

Hをp(xi)で偏微分して、ゼロとおけばよいので(p(xi)をpiと置き換えます)、

∂H/∂pi = -log(pi) - 1 + λ = 0 --- (3)

となり、piで解くと、

pi = exp(λ-1) --- (4)

となります。常套手段で、両辺でiに関するΣをとると、

1 = M*exp(λ-1) --- (5)

となります。式(4)(5)から、式(2)が求まります。
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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