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三次元の幾何学 (6)

さて、次に攻略するものは、以下です。

5)直線-直線

これは少しややこしいです。三次元上のふたつの直線が交点を持つ確率はゼロですから、交点を持たないと仮定します。このとき、なされるべき計算は、ふたつの直線の最小距離(または単に距離)、およびその距離をとるときの、ふたつの直線上の点です。

ふたつの直線を、以下のように表します。

l = p + αs --- (1)
m = q + βt --- (2)

ここで、lmを、最小距離をとるときの直線上の点とみますと、以下の式が成立します。

(l - m, s) = 0 --- (3)
(l - m, t) = 0 --- (4)

式(3)(4)に、式(1)(2)を代入して展開、整理すると、

α - (s, t)β + (p, s) - (q, s) = 0 --- (5)
(s, t)α - β + (p, t) - (q, t) = 0 --- (6)

式(5)(6)は、αとβに関する連立一次方程式なので、これを解けば、αとβが求まります。そして、これらを式(1)(2)に代入すれば、二点が求まり、最小距離も求まることになります。

注意としては、ふたつの直線が平行のときは、解を持ちません。このときは、点と直線問題に帰着させれば、最小距離を求めることができます。
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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