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Mathematica (21)

Mathematica本で新規購入した以下の本、

Mathematica®: A Problem-Centered Approach (Springer Undergraduate Mathematics Series) – 2016/1/12

25ページに、回転体の求積問題が載っています。

y = 2x2 - x3 --- (1)

というグラフを、xがゼロから2の範囲(この2点でx軸と交わる)で、y軸周りに1回転させた物体の体積を求めるという問題です。

Mathematicaでは簡単で、以下の式を(0,2)の範囲で積分すればよいと書かれていますが、

x*(2x2 - x3) --- (2)

式(2)がすぐにはわかりません。2πはよいのですが、なぜxをかけるだけでよいのか?それでちょっと復習。

まず、式(1)ですが、高さ方向をzにとり、回転する平面を(x,y)と取り直すと、回転体の高さは以下の式で表されます。

z = 2(√(x2+y2))2 - (√(x2+y2))3 --- (3)

以下のように変数変換します。

x = rcosθ --- (4)
y = rsinθ --- (5)

求める回転体の体積Vは、

V = ∫∫{式(3)}dxdy --- (6)

ですが、これに式(4)(5)を代入すると、

V = ∫∫(2r2 - r3)rdrdθ = 2π∫(2r2 - r3)rdr --- (7)

となり、式(2)を積分したことになります。正しいのですが、変数xを流用しているのが紛らわしいです。おそらく公式になっているんでしょうね。
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~2020年10月
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第四期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(委員)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

---------------------

前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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