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線型代数入門 (2)

空間のベクトル計算の基本中の基本は、<点と直線との距離>、そして<点と平面との距離>ですね。この計算方法をきちんと身につけていれば、いろいろと応用がききます。やはり内積がポイント。

齋藤正彦先生著「線型代数入門」の第1章に、その解法が丁寧に書かれてあります。<点と直線の距離>は、例3として、10-11ページに載っています。結果としては、

x0'=x1+{(a, x0x1) / (a, a)} a --- (1)

が垂線の足で、距離は、

|x0x0'|=√(|a|2|x0x1|2-(a, x0x1)2) / |a| --- (2)

です(各パラメタは推測可能)。直線の方向ベクトルaが正規化されていないので、ちょっと見通しが悪いですが、私の主張は、式(1)を経由せずに、式(2)が直接書けるようになるまで内積を理解すべし、ということです。式(2)は、ピタゴラスの定理を言っているに過ぎませんからね。

同様に、<点と平面の距離>は、例4として、12-13ページに載っています。上記の例と同様、垂線の足は、

x0'=x0-{((a, x0)-d) / (a, a)} a --- (3)

距離は、

|x0x0'|=|(a, x0)-d| / |a| --- (4)

で与えられます。これも、じっと内積を考えて、式(3)をスキップして、式(4)を導きたいですね。式(4)の意味するところは、ある長さからある部分を引くと、残りの長さになる、というあたりまえのことです。ここでも、平面の法線ベクトルaが正規化されていると、もっと簡単です。

ちなみに、本章の最後の例題は、<直線と直線の距離>です。これはちょっと厄介ですが、これがきちんとできれば、空間ベクトルの計算は卒業!
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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