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Normal Transformations Aren't Normal

"iPhone 3D Programming (2010)"は、難しい数学を控えた良書です。David Eberly氏の本などと違って、数学があまり好きではない人にもお薦めできます。

さて、vertex shaderの中で、法線ベクトルを視野座標系に変換する箇所があります。それについて、pp.131-132で、"Normal Transformations Aren't Normal"というタイトルで説明があります。すなわち、なぜ、法線ベクトルの変換に、点を変換する行列を使ってはいけないのか、ということですね。一応、inverse-transposeでないといけない、とは触れていますが、うまく図を使って、必要最低限の数学で、説明しています。

この問題は実のところ、それほど簡単ではなく、テンソル解析の教科書でも後半になって出てくる、斜交座標系における反変ベクトル/共変ベクトル、などという話になるのですが(点が反変ベクトルで、法線が共変ベクトル)、そのような話題はもちろん避けています。正規直交系では、このふたつの変換は同じになるので、正規直交系を使うに越したことはない、というわけです。

いわゆる、"Red Book"の付録にも、"Transforming Normals"として、参考になる説明がありますね。
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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