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行列のランク

元同僚で、いまFacebookフレンドの三品くんから、FB上に数学の問題が出されました。彼がいま通っている(!)T大の宿題だそうです。

(ここから)--------------------------------

nxn正方行列ABが、

AB = 0 --- (1)

を満足するとき、以下の式を示せ。

rank(A) + rank(B) ≦ n --- (2)

(ここまで)--------------------------------

三品くんは、いままさに勉強しているので、きちんとした<数学的解答>を書いたようですが、私にはそのような知識は既にないので、<直観>でいきます。

さて、式(1)の意味を考えてみると、まずn次元の空間はBにより、n次元以下の部分空間に写されます。次に、その部分空間はAにより、零空間(null space)に写されます(つまり消滅する)。このことを、ランクに着目して式にすると、まさに式(2)となりますね。というわけで、<直観>的に納得。数学的な証明をするつもりは私にはないので(できないので)、私的にはこれでOKです。

いちおう、三次元空間(n = 3)での例を挙げてみましょう。Bが、ある平面への射影とすると、rank(B) = 2、です。次に、Aがその平面の法線ベクトルへの射影とすると、rank(A) = 1で、AB = 0、となります。

これはよいのですが、気になって、式(2)の周辺の事情を調べてみたら、私の線型代数のバイブル(のひとつ)、"Matrix Analysis and Applied Linear Algebra (2001)"の211ページに、以下の式がありました。

rank(A) + rank(B) ≦ n + rank(AB) --- (3)

式(2)は式(3)の特殊な場合ですね。これで一段見通しがよくなりましたが、一方では、式(3)は既に私の<直感>が利かなくなりました。
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まとめtyaiました【行列のランク】

元同僚で、いまFacebookフレンドの三品くんから、FB上に数学の問題が出されました。彼がいま通っている(!)T大の宿題だそうです。(ここから)--------------------------------nxn正方行列AとBが、AB = 0 --- (1)を満足するとき、以下の式を示せ。rank(A) rank(B) ≦...

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No title

FBにも書きましたが、(3)式は rank(AB)≦min(rank(A),rank(B)) の関係(行列の積によりランクが増加することはない)を使用すれば、うまく証明できそうですね。
プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第四期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(委員)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

---------------------

前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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