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投影行列 (2)

前回の記事では、三次元空間における、投影行列について紹介しました。今回は、行列の固有値問題に登場する投影行列の紹介です。

nxn対称行列Aは、以下のように対角化できることが知られています。

A = Udiag(λ1, λ2, ... ,λn)UT --- (1)

ここで行列Uは、各固有値λiに対応する固有ベクトルuiを、順序よく列ベクトルとして並べたものです。綺麗な式で、これは有名ですね。いわゆる、「対称行列は直交行列で対角化できる」という、線型代数における最重要定理のひとつです。

でも、ここではまだ投影行列は出てきません。

さて、式(1)を固有値ごとにまとめてやると、以下のように書けます。

A = λ1u1u1T + λ2u2u2T + ... + λnununT = ΣλiuiuiT --- (2)

ここで、投影行列Piが登場!

Pi = uiuiT --- (3)

とおくと、式(2)は、

A = ΣλiPi --- (4)

と、簡潔に書けるのです。式(4)を日本語にすると、「対称行列Aは、固有ベクトルへの射影を、対応する固有値で重みづけした線型和で表わされる」、ということです。式(1)よりも、式(4)のほうが、意味としてはよくわかりませんか?
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まとめtyaiました【投影行列 (2)】

前回の記事では、三次元空間における、投影行列について紹介しました。今回は、行列の固有値問題に登場する投影行列の紹介です。nxn対称行列Aは、以下のように対角化できることが知られています。A = Udiag(λ1, λ2, ... ,λn)UT --- (1)ここで行列Uは、各固有値に対応す...

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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第四期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(委員)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

---------------------

前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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