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xのx乗

なぜか、xのx乗の微分を考えていました。一見とっつきにくいですが、<対数微分>というのを使えばできます。

y = xx --- (1)

のとき、式(1)の対数をとると、

log(y) = x log(x) --- (2)

式(2)をxで微分します。左辺は合成関数の微分、右辺は積の微分です。

y' / y = log(x) + 1 --- (3)

従って、

y' = y {log(x) + 1} = xx {log(x) + 1} --- (4)

そんなところに、ある集まりで、ゼロのゼロ乗は何か、という議論がありました。このような議論をする集まりとは何か、という疑問が湧きますが、それはおいておきます。

私は不覚にも、ゼロのゼロ乗はゼロ、などとたかをくくっていたのですが(というか、考えていなかった)、これは違いますね。実際のところ、ゼロのゼロ乗自体は定義されないのかも知れませんが、xを限りなくゼロ近い正の値にとってみると、式(1)は限りなく1に近づきます。私は式(1)は原点を通る単調増加関数だと思っていましたが、そうではなく、ゼロと1の間では、面白い振る舞いをしますね。式(4)によると、x = 1/eのときに式(1)は極小値をとり、その値は、(1/e)(1/e)、です。そして、式(4)によると、x → 0のとき、y' → -∞、となります。

ちなみに、xが負の場合は、複素数が出てくるので、もっと難しい話になります。
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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