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一般逆行列 (2)

一般逆行列、

A+ = (ATA)-1AT --- (1)

を導出してみましょう。基本的に(というか、ほとんど)金谷先生の「これなら分かる最適化数学(2005)」第4章<最小二乗法>からの引用ですが、やりかたはいろいろなところに紹介されていると思います。

さて、最小二乗法ですから、まず、残差の二乗和を作ります。即ち、

J = |Ax - b|2 --- (2)

式(2)を展開してみましょう。絶対値の二乗は、内積で表せますから、

J = (Ax - b, Ax - b) = (Ax, Ax) - 2(Ax, b) + |b|2 --- (3)

ここで、内積に関する公式(転置で移動)を使って、

J = (x, ATAx) -2(x, ATb) + |b|2 --- (4)

さて、Jを最小にするようなxを求めます。これは、Jをxで微分して、ゼロと置けばよいので、

dJ/dx = 2ATAx -2ATb = 0 --- (5)

式(5)がなぜこうなるか、分からない人は多いと思います。成分で計算しても確かめられますが、ややこしいので上記本をご覧ください。分かった人は、もうおしまいです。即ち、式(5)から、

x = (ATA)-1ATb = A+b --- (6)
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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