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一般逆行列 (3)

一般逆行列が習得できたところで、(x,y)平面上の3つの直線の<交点>を計算してみましょう!厳密には<交点>ではありませんが、最小二乗法的な<交点>です。

3つの直線を以下で与えます。

x - y = 0 --- (1)
x + y = 0 --- (2)
x = 1 --- (3)

わかりやすいように、できるだけ簡単な設定にしました。さて、一般逆行列の定式化、

x = A+b --- (4)
A+ = (ATA)-1AT --- (5)

に対して、式(1)(2)(3)を当てはめます。すなわち、

A = ((1, -1), (1, 1), (1, 0))T --- (6)
b = (0, 0, 1)T --- (7)

式(5)(6)から、

A+ = ((1/3, 1/3, 1/3), (-1/2, 1/2 0))T --- (8)

と、一般逆行列が求まります。式(4)(7)(8)より、

x = (1/3, 0)T --- (9)

と、非常にそれらしい、つまり最小二乗法的<交点>が求まりました。式(1)(2)(3)(9)をプロットしてみてください。

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ここで私は、よせばいいのに、残差を求めようなどと思いつきました。すなわち、

<残差の二乗> = |Ax - b|2 = |(1/3, 1/3, 1/3)T - (0, 0, 1)T|2 = 6/9 --- (10)

私はこれが、(x, y)平面上の、式(1)(2)(3)で表される直線と、式(9)で求められた点との距離の二乗和に一致するものと思っていたのです。ところが、それを計算してみると、

<3直線と点との距離の二乗和> = (1/(3√2))2 + (1/(3√2))2 + (2/3)2 = 5/9 --- (11)

となり、式(10)と式(11)の結果は一致しないことがわかりました。あれっと思ったのですが、考えてみると、式(10)は三次元空間で計算していますが、対して、式(11)は二次元平面での計算です。計算方法が違うので、合わないのは当然とも言えますが、何か腑に落ちないゾ。だいたい、式(11)の値は、最小値なんでしょうね。式(11)の最小値を求めようと思って、式(4)で計算しているわけですからね。
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No title

式(10)を距離の最小二乗和にするには,式(1),(2)に法線ベクトルのノルムである 1/√2 を掛けた係数を用いて,A および b を構成する必要があるのではないでしょうか.このとき,最小二乗解は (x, y)=(1/2, 0) となります.そして,距離の最小二乗和は 1/2 となっています.

No title

pokaさま、貴重なご意見ありがとうございました。そうですか、最小値ではなかったということですね。ちょっと考えてみます。ありがとうございました!
プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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