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曲線の長さの謎

アルキメデスの螺旋の式は、最も簡単には以下のように表されます。

r = θ --- (1)

なかなか不思議な式であります。

さて、式(1)の一周分(0≦θ≦2π)の長さを求めてみましょう。よく知られた、極座標表現における曲線の長さを求める式を使います。即ち、

L = ∫√(r2 + (dr/dθ)2)dθ --- (2)

式(2)に式(1)を代入してやります。

L = ∫√(θ2 + 1)dθ --- (3)

これは、無理関数の積分の初等的な問題です。有名な変数変換でできますが、公式集にも必ず載っています。計算してやると、

L = π√(1 + 4π2) + (1/2)log(2π + √(1 + 4π2)) --- (4)

となります。

これはよいのですが、ここで気がついたのは、放物線、

y = (1/2)x2 --- (5)

の、0≦x≦2πの区間での長さは、式(3)と全く同じ形の積分になるので、この両者の曲線の長さは同じとなります。全く違う曲線の長さが同じになるって、面白くないですか?謎であります。
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第四期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(委員)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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