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曲率の謎

曲率(curvature)は、微分幾何に出てくるものです。中心をなす概念のひとつ。

曲線が二次元であれば分かりやすいのですが(接触円を考えればよいです)、三次元だと少しややこしいですね。これを助けるためのツールが、フレネーセレ(Frenet–Serret)の公式です。即ち、

e1' = ke2 --- (1)
e2' = -ke1 + τe3 --- (2)
e3' = -τe2 --- (3)

行列で書くと、対角成分がゼロの反対称行列になります。覚えやすく、綺麗な式ですね。な~んだ、簡単じゃないですか!

いえいえ、ここで注意しなければならないのが、式(1)(2)(3)の微分は、いわゆる<弧長>による微分だということです。然るに、曲線を定義するパラメタは、一般には<弧長>ではありません。これの辻褄合わせが(私にとっては、)ちょっとややこしい。このふたつの微分はきちんと区別する必要がありますが、ノーテーションが本によって統一されておらず、これも混乱の元です(多くはprimeとdotが使われますが、使われ方が逆だったりします)。

然るに、(<弧長>ではなく、)一般のパラメタによる微分で、曲率が求められる公式があります。捩率(torsion)も一緒に書いておきます。

k = |p' x p''| / |p'|3 --- (4)
τ = |p', p'', p'''| / |p' x p''|2 --- (5)

式(4)(5)は便利な公式で、これにより、曲線上の任意の点での曲率(及び捩率)を求めることができます。でも、式(4)(5)は、特に公式には名前がついていません。重要なのに、謎であります。
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プロフィール

加納裕(かのうゆたか)

Author:加納裕(かのうゆたか)


[略歴]
1983年3月東京工業大学工学部機械物理工学科卒業
1983年4月(株)図研入社
1987年1月同社退社
1987年2月(株)ソリッドレイ研究所を6名で設立、取締役
1994年3月同社退社
1994年4月(株)スリーディー入社
1996年10月同社取締役
1999年12月上海大学兼務教授
2002年10月同社代表取締役
2009年9月ものつくり大学非常勤講師~現在
2009年10月同社代表退任/退社
2010年1月ソフトキューブ(株)入社~現在(技術顧問)
2017年4月湘南工科大学非常勤講師~現在


[業界団体・学会活動]
電気学会・第三期次世代インタラクティブディスプレイ協同研究委員会(幹事)/最先端表現技術利用推進協会・アカデミック部会(旧:三次元映像のフォーラム)(副部会長)/日本バーチャルリアリティ学会ハプティクス研究委員会(委員)/ACM(Professional Member)/情報処理学会(正会員)/3Dコンソーシアム(賛助会員)/URCF(特別会員)

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前職:立体映像産業推進協議会(幹事)/日本バーチャルリアリティ学会・論文委員会(委員)/3DBiz研究会(個人賛助会員)


[資格]
TOEIC805点
数学検定1級(数理技能)
中型・普自二免許
サッカー4級審判員

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